Kovarianz

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Kovarianz
Meine Frage:
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und .

Zeige: Sind unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilung , so gilt:

.

Folgere daraus: Ist und sind beide monoton wachsend, so sind positiv korreliert, d.h. .



Meine 1. Frage ist: Was bedeutet: ?

Bedeutet das, daß f und g reelle Zufallsvariablen sind, für die man die Varianz berechnen kann?

Meine Ideen:
Also anfangen würde ich mit der Definition der Kovarianz und einfach mal einsetzen:



Aber so wirklich weiter komme ich damit leider nicht.
Wer kann mir bitte ein bisschen helfen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovarianz
Kann man vllt. dies hier gebrauchen:

?


Also irgendwie sowas:

?

Irgendwie muss man ja jedenfalls von P (im Index) auf Q kommen.

Analog ja auch

.

Keine Ahnung, wie sich das nun zusammenbringen läßt, falls es überhaupt stimmt.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine weitere Idee, die ich hätte, wäre:

Es gilt ja (oder nicht?):



Und vielleicht kann man daraus jetzt was ableiten??
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Das aus L2 heißt, dass die quadratintegrierbar bzgl. P sind - also wie du schon ganz richtig bemerkt hast die Varianz (bzw. eben das zweite Moment) existiert.

So, also zur Aufgabe: Nimm die rechte Seite und multipliziere aus.
Dann kannst du zunächst verwenden, dass die Verknüpfung von (messbarer) Funktion und unabhängigen Zufallsvariablen unabhängig bleibt,
und schließlich dann auf das Bildmaß übergehen (was eben gleich P ist).

Schöne Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst Du das vielleicht ein bisschen ausführen, denn ich habe nicht verstanden, was Du meinst.
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovarianz
.

Das kannst du non schon zusammenfassen. Bei den anderen Termen kannst du die unabhängigkeit ausnutzen um das auseinander zu ziehen. Schließlich gehst du dort auch wieder aufs Bildmaß P und fasst es wieder zu sammen.
Reicht dir das oder soll ich noch etwas mehr dazu schreiben?

Schöne Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovarianz
Ich versuche mich erstmal. Und bei Fragen - die ich mit Sicherheit haben werde - melde ich mich hier wieder.

Besten Dank bis hierher!!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovarianz
Bedeutet denn auch, daß f und g Zufallsvariablen sind - oder nur, daß deren Varianz existiert?

Ich kenne den Begriff Varianz nur für Zufallsvariablen, deswegen meine Frage.


Naja, zur Rechnung:













Nun sind, wie Du sagst unabhängig. (Wieso ist das so?)









Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovarianz
Rechnung ist meiner Meinung nach richtig smile

Was heißt denn für dich Zufallsvariable, bzw. wie habt ihr denn Zufallsvariable definiert?
So wie ich das hatte, ist eine ZV eine messbare Abbildung. Und eine Funktion f aus L2
ist nach definition eine messbare quadratintegrierbare Funktion (d.h. hier: existiert bzw. mit anderen Worten: Die Varianz existiert).

Ist dir denn der Zusammenhang zwischen Integral und Erwartungswert klar, also hattest du allgemein Integration nach einem Maß?

Zur zweiten Sache: Auch wieder die Frage wie habt ihr denn Unabhängigkeit von Zufallsvariablen definiert?
(Hast du den Georgii?, da steht auf s.68 eine Definition)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovarianz
Zufallsvariable ist für mich auch eine messbare Funktion:

Konkret:

Zitat:
Georgii, "Stochastik", S. 20 & 21
Seien und zwei Ereignisräume. Dann heißt jede Abbildung mit der Eigenschaft Zufallsvariable von nach oder auch ein Zufallselement von oder messbar.


Anscheinend ist mir noch immer nicht ganz klar geworden, was man mit meint, denn ich kann trotz obiger Definition nicht sagen, ob f nun eine Zufallsvariable ist.

Wenn ja, wäre wahrscheinlich der erste Ereignisraum hier und der des Bildbereichs . Und dann müsste jede Borelmenge in enthalten sein.


Zu der Sache mit der Unabhängigkeit:
Ich habe mir die Definition, die Du meinst, in dem Buch durchgelesen, werde daraus aber nicht schlauer. verwirrt
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovarianz
Also

D.h. eine Funktion daraus ist nach definition messbar, also Zufallsvariable (oder verstehe ich deine Frage einfach nicht richtig?).

Ok, die Definition ist dort vielleicht etwas zu aufgebläht, aber in unserem Fall heißt das doch:
X,Y sind unabhängig, falls für beliebige Mengen gilt:

oder auführlicher:


Hilft dir das weiter?
Beste Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovarianz
Doch, Du hast meine Frage richtig verstanden und ich nun Deine Antwort.

Okay, aber meine Frage war ja, wie man jetzt sieht, daß , d.h. die Verkettungen von zwei Zufallsvariablen (nun weiß ich ja, daß f und g Zufallsvariablen sind), unabhängig sind.
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovarianz
ich dachte dass du die Definition nicht verstehst. Also setze doch das ganze erst mal in die Definition ein (also statt X, f(X) etc.) und versuche das ganze so hinzubiegen, dass du ausnutzen kannst, dass X und Y unabhängig sind (wichtig ist dabei nochmal zu beachten, dass f und g Zufallsvariablen/messbar sind und wie das nochmal definiert war)

Vielleicht hilft dir das jetzt ja weiter?
Ansonsten sag bescheid, dann helf ich dir gerne weiter.

Schöne Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es probiert jetzt eine ganze Weile, aber komme nicht so gut klar.

Vielleicht kannst Du wieder den Ansatz zeigen?

Wäre lieb!
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Also du musst ja zeigen:
Für gilt:


Dazu rechnet man:

So und was sagt nun die messbarkeit von f bzw. g über die Urbilder? Jetzt musst du eigentlich nur noch die Definition der Unabhängigkeit von X und Y anwenden und du bist fertig...(oder nicht?)

Schöne Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Deine Mühe.

Ich bin jetzt mit Deinen Tipps zu Folgendem gekommen:

Seien sowie .





[Die Urbilder von f bzw. g sind ja in der - Algebra.]





[X bzw. Y sind ja unabhängig nach Voraussetzung.]


Alles in allem ist also gezeigt, daß man alles auf X und Y und somit auf unabhängie Zufallsvariablen zurückführen kann. Demnach sind und unabhängig.


Ich hoffe, das ist in Ordnung.

Die Aufgabe ist ja nun aber leider noch nicht abgeschlossen und dies hier war ja sozusagen nur "nebenbei" für mein Verständnis.
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Jo hätte ich gesagt. Nur das ich C, D so definiert hätte und dann gesagt hätte aufgrund der messbarkeit sind die aus der entsprechenden sigma algebra. (das z.B. unten drunter find ich etwas schwammig)

Zu dem anderen, hast du vielleicht ne Idee?
Ich hab grad keine Motivation mehr mir darüber Gedanken zu machen, aber vielleicht bringt mich irgendwas von dir selber auf eine Idee Augenzwinkern

Schönen Abend/Nacht noch
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Moment habe ich da keine wirkliche Idee.
Vielleicht kommt das ja noch.

Nochmal besten Dank für das Bisherige.
Ohne Dich hätte ich diese Aufgabe nie bis hierhin hinbekommen!
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovarianz
Zitat:

... Es gilt:
.

Folgere daraus: Ist und sind beide monoton wachsend, so sind positiv korreliert, d.h. .


Na gut also nach kurzer Überlegung ist mir aufgefallen, dass die Aufgabe nicht wirklich schwer ist:
Was passiert denn für X \ge Y mit f(X)-f(Y) bzw. g(X) - g(Y)?
Was passiert für X < Y? (Stichwort Monotonie)

Schöne Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe auch nochmal darüber nachgedacht und wenn ich es ebenfalls korrekt verstanden habe, ist es wirklich gar nicht so schwer. Ich behandle zunächst etwas ausführlicher den Fall, daß gilt. Den zweiten Fall mache ich dann etwas kürzer, weil das ja sehr analog geht.

Sei also und seien f und g monoton wachsend.

I. Fall:

Das bedeutet ausführlich doch:



Und daraus folgt wegen der Monotonie von f und g:

bzw.







[Der Erwartungswert einer reellen Zahl ist wohl nichts Anderes als diese Zahl selbst, denn da kann sich ja nichts verändern, es ist ja nichts Variables im Spiel. Ich hoffe, das sehe ich richtig.]

Daraus folgt die Behauptung.

II. Fall:

Dann gilt und somit








Ein kleines Feedback wäre, wie immer, toll!

Beste Grüße & Wink

Dennis
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Also an sich wieder richtig, aber es fehlt noch etwas, aber erst mal zu dem was du hattest:

Zitat:
Original von Dennis2010

I. Fall:

Das bedeutet ausführlich doch:




Das ist natürlich richtig, aber es ist denke ich sinvoller X > Y vorerst aufzufassen wie X(w) > Y(w), denn sonst bräuchtest du ja noch einen Fall. Also besser ist die Frage: Was passiert wenn X(w) > Y(w) und umgekehrt.

Zitat:

Und daraus folgt wegen der Monotonie von f und g:

bzw.




Das ist richtig Freude

Zitat:





[Der Erwartungswert einer reellen Zahl ist wohl nichts Anderes als diese Zahl selbst, denn da kann sich ja nichts verändern, es ist ja nichts Variables im Spiel. Ich hoffe, das sehe ich richtig.]


Also die letzte Aussage stimmt prinzipiell, allerdings ist das hier "falsch", da X bzw. Y ja immer noch Funktionen sind, d.h. dein a ist keine Reele Zahl, sondern eine Funktion (in w). Somit kannst du das also nicht so sagen.

Zitat:

II. Fall:


Siehe oben.


So also ich würde es wie folgt machen (das ist ein kleiner Trick der immer mal wieder auftaucht - würd ich mir merken):

Also du trennst quasi den Erwartungswert auf (dies entspricht einer Aufteilung des Integrationsbereiches) und zwar indem du Indikatorfunktionen betrachtest (oder auch charakteristische Funktionen je nachdem wie ihr die genannt habt):



(F ist die entsprechende sigma Algebra.) D.h. hier konkret: Betrachte:



Schöne Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Mir ist nicht klar geworden, was ich nun mit der charakteristischen Funktion machen soll.

Man "splittet" also auf in den "Teil" für den gilt, daß und in einen anderen Teil für den gilt .

Ich weiß aber nicht, was ich nun damit anfangen kann.
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Problem ist ja, dass du nicht pauschal sagen kannst X(w) > Y(w) (für alle w). Wäre das so, dann wärst du fertig (also das was du gemacht hast wäre dann zu 99% richtig). Da man das aber nicht annehmen kann, musst du halt deinen Definitionsbereich aufteilen in zwei (disjunkte!) Mengen, auf denen X\ge Y bzw. X < Y gilt. Also konkret teilst du den Definitionsbereich (Omega) wie folgt auf:



So nun weißt du für gilt:



und für gilt:



Nun ist aber (in Anführungszeichen):


( ist das komplement von A) Das heißt die oben gemachte Fallunterscheidung lässt sich via charakteristische Funktion auf die entsprechende Funktion direkt in der Rechnung anwenden.
Letztlich musst du nun eigentlich nur noch die Linearität des Erwartungswertes anwenden und du bist fertig.

Jetzt klarer?
Schöne Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zündholz
Also das Problem ist ja, dass du nicht pauschal sagen kannst X(w) > Y(w) (für alle w). Wäre das so, dann wärst du fertig (also das was du gemacht hast wäre dann zu 99% richtig). Da man das aber nicht annehmen kann, musst du halt deinen Definitionsbereich aufteilen in zwei (disjunkte!) Mengen, auf denen X\ge Y bzw. X < Y gilt. Also konkret teilst du den Definitionsbereich (Omega) wie folgt auf:



So nun weißt du für gilt:



und für gilt:




Bis hierhin ist es mir klar geworden.

Zitat:
Original von Zündholz
Nun ist aber (in Anführungszeichen):


( ist das komplement von A) Das heißt die oben gemachte Fallunterscheidung lässt sich via charakteristische Funktion auf die entsprechende Funktion direkt in der Rechnung anwenden.
Letztlich musst du nun eigentlich nur noch die Linearität des Erwartungswertes anwenden und du bist fertig.



Das habe ich leider nicht verstanden.
Tut mir wirklich leid. traurig

Edit: Also verstanden schon, aber ich sehe einfach nicht, was das jetzt mit dem Erwartungswert zu tun hat, den man berechnen muss.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab' nochmal darüber nachgedacht, was Du meintest und bin auf Folgendes gekommen:


Das, was ich oben als bezeichnet habe, ist ja eine Funktion, die von dem gerade betrachteten Element abhängt (was ich oben nicht bedacht habe), also korrekt .



Und dann hat man .

Wenn nun beispielsweise , so ist und deswegen , da sowieso .

Das kann man "herausziehen", weil es sich um eine reelle Zahl handelt.


Und ebenso wäre das, wenn aus dem Komplement stammen würde. Dann wäre sowieso auch größer/ gleich Null und man hätte wieder den Erwartungswert von 1, diesmal nur von der anderen charakteristischen Funktion.
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist alles richtig, nur noch eine "Kleinigkeit": Es ist ja nicht E[X] = E[Zahl]. Da ich es nicht so gut erklären kann und denke das du prinzipiell begriffen hast um was es geht schreib ichs dir mal auf so wie ich es machen würde:




da ich jetzt auch nicht viel mehr erklärt habe, nochmal der Versuch es etwas ausführlicher zu machen (Falls das immer noch nicht passt, versuch ichs gern weiter Augenzwinkern ):

Du weißt ja das auf beiden Mengen das Produkt positiv ist und der Erwartungswert deshalb auch. D.h. die Funktion h eingeschränkt auf die eine Menge ist positiv und eingeschränkt auf die zweite Menge ist auch positiv. Also E[h eingeschränkt auf {X \ge Y}] ist positiv usw. als Beispiel:
{X \ge Y} =]-\infty,0], Q Lebesguemaß, dann wäre

E[h eingeschränkt auf {X \ge Y}] =

Da h auf dieser Menge nur positive Werte annimmt. Analog falls {X < Y} = ]0,\infty[ :

E[h eingeschränkt auf {X < Y}] =

und zusammen ergeben die:



Das Beispiel ist an sich zwar kompletter schmarn (formal unsauber etc.), aber vielleicht hilft dir das fürs Verständnis trotzdem etwas?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zündholz
Das ist alles richtig, nur noch eine "Kleinigkeit": Es ist ja nicht E[X] = E[Zahl].


Wie meinst Du das?
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Naja E[f] = E[Funktion].
Ich hoffe ich habe dich nicht total durcheinander gebracht?!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich weiß nur nicht, was Du mir mitteilen wolltest, als Du sagtest, es sei im Grunde korrekt gewesen, bis auf eine "Kleinigkeit".

Ab da verstehe ich Deine Korrektur nicht mehr bzw. was Du verbessern möchtest.
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
...
Und dann hat man .


Was ist denn a(w)? Meinst du die FUnktion a?

Zitat:

Wenn nun beispielsweise , so ist


(Vorsicht die charakteristische Funktion ist auch eine Funktion!) Das ist richtig und wichtig!, allerdings ist deine letztendliche Begründung:

Zitat:

und deswegen , da sowieso .

Das kann man "herausziehen", weil es sich um eine reelle Zahl handelt.


falsch. Ich mein so wie du es hingeschrieben hast ist das schon richtig, aber du willst ja zeigen
E[a] \ge 0 und nicht E[a(w)] \ge 0.
Und da kannst du nicht E[a] = E[a(w)] = a(w) schreiben...?

Oder missverstehe ich dich total?

Das meinte ich mit "Kleinigkeit".
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit a(w) meine ich das, was bei in der Klammer steht, das ist doch eine Funktion von w.

Ich sehe den Unterschied zwischen E(a(w)) und E((a)) nicht.

Aber vielleicht reden wir auch aneinander vorbei.
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Mit a(w) meine ich das, was bei in der Klammer steht, das ist doch eine Funktion von w.


Ja, a ist eine Funktion, also ich denke mal das was du schreiben willst ist oder einfach nur a? Aber vielleicht ist mir deine Schreibweise einfach nicht geläufig...

Zitat:

Ich sehe den Unterschied zwischen E(a(w)) und E((a)) nicht.


Naja der Unterschied ist das du die Funktion a auswertest oder erstmal nicht klar ist was das w ist und was man mit diesem Objekt so wies dasteht anfangen soll (zumindest geht mir das so Augenzwinkern ). Also ich kenne wie schon gesagt diese Schreibweise nicht vielleicht kann man das schon machen smile .
Das hauptproblem ist ja aber dann, dass du auch wenn du als a(w) die Funktion meinst, du diese (da sie i.A. nicht konstant ist) nicht aus dem Erwartungswert ziehen darfst.

Zitat:

Aber vielleicht reden wir auch aneinander vorbei.


Da könntest du recht haben Augenzwinkern
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