Vektorbeziehungen

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21.12.2006, 18:20	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorbeziehungen Und hier ist mein zweites Problem: Gesucht ist der Vektor a, der folgende Beziehungen erfüllt: a) Betrag von a = 3 b) a steht senkrecht auf dem vektor b= (3,-4,1)hochT c) a steht senkrecht auf dem Vektor b= (6,-2,5)hochT Geben Sie alle möglichen Lösungen an.
21.12.2006, 18:29	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorbeziehungen Gib mal einen Vorschlag an 1. $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \|a\| = \sqrt{<a,a>} = 3 \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} <a,b> = 0 \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} <a,c> = 0 \end{eqnarray}$ Du solltest den Vektor in c) umbenennen
25.12.2006, 16:18	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorbeziehungen Ok tigerbine, wir nennen den Vektor unter b) b1 und den unter c) b2 zu Deinen Anmerkungen: 1. Vektor a soll Element des Raumes sein. 2. Der Betrag von a und damit seine Länge soll 3 entsprechen. 3. und 4. Kann ich sagen, dass ich zwischenn den beiden unter b) und c) gegeben Vektoren b1 und b2, eine Gerade ziehen kann, dann den normierten Einheitsvektor der senkrecht dazu steht und das dann mal 3. So hätte ich einen Vektor mit dem Betrag drei der Senkrecht zu den beiden anderen steht, oder etwa nicht?
25.12.2006, 17:52	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorbeziehungen folge doch dem weg der tigerbine: oder ersetze 2) und 3) durch das vektorprodukt und bringe es auf die länge 3. werner
25.12.2006, 18:38	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorbeziehungen Hallo Werner, Punkt1) Du meinst also (3,-4,1) -->b1 (6,-2,5) -->b2 KreuzP(b1,b2) =z anschliesssend z auf Länge 3 bringen. Ok? Punkt2) Ist das auch der Weg der Tigerbine?
25.12.2006, 19:03	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorbeziehungen punkt 1) ja genau so meinte ich es. punkt 2) der weg von tigerbine ist der über das skalarprodukt (teil 3 und 4, (ich habe oben irrtümlich 2 und 3 geschrieben) statt des vektorproduktes und lösen des linearen gleichunssystems plus pkt.2), woraus sich die 3. bedingung für die 3 komponenten ergibt. werner
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26.12.2006, 08:26	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorbeziehungen Guten Morgen Werner, Dann setzen wir mal um... Punkt1) (3,-4,1) -->b1 (6,-2,5) -->b2 KreuzP(b1,b2) =z = (-18,-9,18) -->sollte dann mein Normalenvektor der Ebene sein, richtig? nun auf Länge bringen... also erst normieren... no = (1/abs(n))n -->no= (-2/3,-1/3,2/3) und dann Koordinaten des Punktes, über die Formel von tigerbine aus dem Pyramidenthread... oH = b1 + 3no --> oH = (2.451,-2.905-1.739) bzw. oH = b1 -3*no für die entgegngesetzte Richtung. Steht der gesuchte Vektor mit dem Betrag 3 nun nicht nur senkrecht auf b1? Punkt2) Hoffe ich habe Deine Variante jetzt nicht mit der von tigerbine durcheinander gebracht. Wäre aber sehr nett von Dir mir auch Ihren Weg kurz zu erläutern damit ich meinen noch schmalen Horizont ein wenig erweitern kann :-) also erst SkalarP(b1,b2) ... dann? Gruss
26.12.2006, 15:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorbeziehungen Hallo Ihr zwei ich hoffe ihr hattet ein schönes Fest. Ehe es weitere Spekulationen über meine Punkte 1 - 4 gibt, erklär ich sie mal selber. Ich habe zunächst nur die Angaben der Aufgabenstellung in math. Ausdrücke übersetzt. Und man kann dann (sogar) schon mit diesen Angaben die Aufgabe lösen. Rechnerisch einfacher kann man sich die Sache machen, wenn man weiß, was das Vektorprodukt ist (Gruß an Werner!) und dass wir es hier auch enwenden können, da wir einen dreidimensionalen Vektorraum vorliegen haben. Gruß, tigerbine
26.12.2006, 15:34	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorbeziehungen Hallo Tigerbine, danke ich war sehr zufrieden, hoffe Du wurdest auch reich beschert. Was haben wir denn nun falsch gemacht? Ist Vektorprodukt nicht = Kreuzprodukt? Gruss
26.12.2006, 15:54	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorbeziehungen Nein, ihr habt nix "falsch gemacht" Vektorproduk = Kreuzprodukt. Das Teil hat verschiedene Namen. Ich hab einfach den aus meiner FS verwendet. Sry, wollt keine Verwirrung stiften. Werner's Weg $\begin{eqnarray} b= (3, -4, 1)^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c= (6, -2, 5)^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b \times c = n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n = (-18, -9, 18 )^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|n\| = \sqrt{18^2+9^2+18^2} = \sqrt{729} = 27 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n_0=(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3})^T \end{eqnarray}$ Jetzt bedenken wir wieder die beiden möglichen Richtungen, wobei es sich hier formal nur um ein skalares vielfache handelt: $\begin{eqnarray} a_1=(-2,-1,2)^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_2=(2,1,-2)^T \end{eqnarray}$ Beim PyramidenThread haben wir die Koordinaten der Spitze gesucht. Das ist etwas anderes als der Vektor a. Vielleicht malt der Werner ja eine Skizze, bin mit dem Programm noch nicht so fit Ist soweit der Weg von Werner klar?
26.12.2006, 16:03	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorbeziehungen Eine Skizze wäre natürlich wunderbar Dein Weg (@ tigerbine) ist also über das Skalarprodukt. Der Weg von Werner sollte über das Kreuzprodukt sein. Nun habe ich bei deinem Weg auch das Kreuzprodukt benutzt, wo liegt denn genau der Unterschied der beiden Varianten? Und wie komme ich im letzten Schritt auf a1 und a2?
26.12.2006, 16:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorbeziehungen Siehe edit. Ich habe Dir WErner's Weg durchgerechnet. Du kommst auf a_1, a_2, wenn Du n_0 mit der Länge 3 versiehst und die beiden Richtungen bedenkst. Meinen Weg schreib ich dir später noch auf. Muss jetzt mal was essen:-)
26.12.2006, 16:29	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorbeziehungen Alles klar, Wernes Weg ist nun verständlich für mich. Dir einen Guten Appetit!!!
26.12.2006, 18:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorbeziehungen tigerbine's Weg oder "was ist gegeben?" $\begin{eqnarray} \text{1. } a:=\begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \\a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{2. } \|a\| = 3 \Leftrightarrow \sqrt{a_1^2 + a_2^2+a_3^2} = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{3. } a \perp b \Leftrightarrow <a,b> = 0 \Leftrightarrow 3a_1 -4 a_2 +a_3 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{4. } a \perp b \Leftrightarrow <a,c> = 0 \Leftrightarrow 6a_1 -2 a_2 +5a_3 = 0 \end{eqnarray}$ Lösen eines unterbestimmen LGS $\begin{eqnarray} \text{I. }3a_1 -4 a_2 +a_3 = 0 \Leftrightarrow \text{I'. }-6a_1 + 8a_2 - 2a_3 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{II. }6a_1-2 a_2 +5a_3 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{III = I' + II : }6a_2 + 3a_3 = 0 \Leftrightarrow a_3 = -2a_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Einsetzen in 1: } 3a_1 - 4a_2 - 2a_2 = 0 \Leftrightarrow 3a_1 - 6a_2 = 0 \Leftrightarrow a_1 = 2a_2 \end{eqnarray}$ ____________________________________________ Damit wissen wir: $\begin{eqnarray} a = \begin{pmatrix} 2a_2 \\ a_2 \\ -2a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt noch 1. benutzen: $\begin{eqnarray} \sqrt{(2a_2)^2 + (a_2)^2 + (-2a)^2} = \sqrt{4a_2^2 + a_2 ^2+4a_2^2} = \sqrt{9a_2^2} = 3\sqrt{a_2^2} = 3 \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \sqrt{a_2^2} = 1 \text{ Was zu den beiden Lösungen: } a_2=1 \text{ und } a_2 = -1 \text{ führt. } \end{eqnarray}$
26.12.2006, 18:52	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorbeziehungen Wunderbar, Danke Tigerbine! Einen schönen Abend noch. Gruss
26.12.2006, 18:55	tim taler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorbeziehungen Und auch einen herzlichen Dank an Werner! Gruss

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