endlicher Körper

04.09.2011, 09:49

Doppelhorst

endlicher Körper

Hallo,

Gegeben einen Körper K, der endlich ist.
Zu zeigen ist: Es ex. eine Zahl n, sodass n*1 = 0.

Ich habe leider keinen Ansatz, wie man dies lösen könnte. Könnt ihr mir ein wenig auf die Sprünge helfen?
Ein endlicher Körper hat ja endliche viele Elemente, wenn man es sukzessive erhöht, dh. zu 0 die 1 addiert und die 0 rauskommt, wäre er ja unendlich.... oder?

04.09.2011, 09:57

lgrizu

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RE: endlicher Körper
Körper sind Nullteilerfrei, das bedeutet, es gibt kein n aus K ungleich 0 das die Gleichung n*1=0 erfüllt.

04.09.2011, 10:00

jester.

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RE: endlicher Körper

Zitat:

Original von lgrizu
Körper sind Nullteilerfrei, das bedeutet, es gibt kein n aus K ungleich 0 das die Gleichung n*1=0 erfüllt.

Vermutlich ist eher ein natürliches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\cdot 1 = \underbrace{1+1+...+1}_{n\text{ Summanden}} \end{eqnarray*}$ gemeint; i.e. ein endlicher Körper hat Charakteristik größer Null.

Dazu untersuche man die Menge $\begin{eqnarray*} \{1, ~1+1, ~ 1+1+1, ~ ... \} \end{eqnarray*}$ , die eine Teilmenge des endlichen Körpers ist.

04.09.2011, 10:02

Doppelhorst

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RE: endlicher Körper
Oh, du hast recht n*1 war definiert als 1+1+1+1+1 (n mal).

04.09.2011, 10:46

Doppelhorst

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RE: endlicher Körper
Hallo Jester,

Deine angegebene Menge ist dann endlich. Das heißt, es müssen mind. 2 Elemente gleich sein. Hmm jetzt müsste ich argumentieren können, dass ein Element und dessen Inverse in der Menge ist oder? Da hängt es gerade

04.09.2011, 11:05

Elvis

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Zwei verschiedene Elemente dieser Menge sind gleich heißt : es gibt natürliche Zahlen m und n mit m*1=(m+n)*1 .

04.09.2011, 12:51

weisbrot

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liegt es nicht auf der hand(?)
1 ist neutr. element der multiplikation, 0 ist neutrales el. der addition.
beide existieren, da es ja ein körper ist.
also ist n*1=n, es soll n*1=0, also n=0.
die gesuchte zahl ist also dein 0-element, da du weist, dass dieses eindeutig ist, hast du gleichzeitig gezeigt, dass es genau eine solche zahl gibt.
lg

04.09.2011, 12:55

jester.

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Zitat:

Original von weisbrot
also ist n*1=n

Es ist doch $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} n\in K \end{eqnarray*}$ . Wie $\begin{eqnarray*} n\cdot 1 \end{eqnarray*}$ zu verstehen ist, haben wir doch oben schon geklärt.

04.09.2011, 13:02

Elvis

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@weisbrot

In $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 2*1=1+1=0 \end{eqnarray*}$ . Wo ist denn da deine Eindeutigkeit ? Mit n ist hier immer eine natürliche Zahl >1 gemeint.

04.09.2011, 13:03

weisbrot

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hab mir schon gedacht, dass ihr sowas meint, allerdings bedenke, dass dann 2 kein element des körpers ist Augenzwinkern

(2=0 in F2)

04.09.2011, 13:21

weisbrot

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Zitat:

In $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 2*1=1+1=0 \end{eqnarray*}$ . Wo ist denn da deine Eindeutigkeit ? Mit n ist hier immer eine natürliche Zahl >1 gemeint.

du hast hier (in gewisser weise) ein element aus N (und nicht F2) mit einem element aus F2 (und N) mit einer verknüpfung, welche nur auf F2 definiert ist, verknüpft.
das darf man nicht Lehrer

04.09.2011, 13:29

lgrizu

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Darum geht es doch auch gar nicht, es ist zu zeigen, dass es eine natürliche Zahl n gibt (diese muss nicht in dem Körper liegen), mit n*1=0, dieses n nennt man auch Charakteristik des Körpers und die ist gesucht.

04.09.2011, 13:31

weisbrot

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ok, was ist dann * ?

04.09.2011, 13:33

jester.

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Zitat:

du hast hier (in gewisser weise) ein element aus N (und nicht F2) mit einem element aus F2 (und N) mit einer verknüpfung, welche nur auf F2 definiert ist, verknüpft.
das darf man nicht

Und wie man das darf. Es handelt sich möglicherweise um eine "missbräuchliche Notation", aber was soll's?
Genau genommen ist es jedenfalls der Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}\to\mathbb{F}_p, ~ z\mapsto \begin{cases} \underbrace{1+1+...+1}_{z\text{ Summanden}} & z\geq 0 \\ -\underbrace{(1+1+...+1)}_{-z\text{ Summanden}} & z < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ , den man hier zur Anwendung bringt. Elvis hat dies als Kurzschreibweise zu $\begin{eqnarray*} 2*1 \end{eqnarray*}$ verkürzt.

Edit: Tippfehler behoben.

04.09.2011, 13:34

lgrizu

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Die Aufsummierung.

1+1=2*1

1+1+1+1+1=5*1

Wir zählen, wie oft die Zahlen miteinander addiert werden bis 0 herauskommt.

In F_2 zum Bespiel ist 1+1=0, die 1 wird zwei mal aufaddiert, die Charakteristik ist also 2.

04.09.2011, 18:43

weisbrot

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najuti, also nehmen wir die multiplikation des endl. körpers K

*: KxK->K, *(n,m)=n*m mod(#K)

und machen hier daraus

*: NxN->N, *(n,m)=n*m mod(#K)

also unserer körper K ist endlich und angeordnet (davon geh ich mal aus), es gibt also ein größtes element, sei #K=k+1 (also K={0,1,2,...,k-1,k}), so ist dies k.
k ist natürliche zahl => k+1 ist natürliche zahl

(k+1)*1=k+1=0 mod(k+1)

also ist die gesuchte zahl k+1 und natürlich alle ihre vielfachen.
hoffe ihr meint das

04.09.2011, 18:51

Elvis

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Das bringt nichts, was du hier machst. Selbstverständlich ist m*1 eine m-fache Addition der Eins im Körper K, denn m*1=1+...+1 ist nur eine abkürzende Schreibweise für eine Operation im Körper. Die Schreibweise hat auch noch den Vorteil, dass man genau sieht, wieviele Einsen addiert werden.
Beachte doch mal meinen Hinweis $\begin{eqnarray*} m*1=k*1\Rightarrow m*1=(m+n)*1\Rightarrow m*1=m*1+n*1 \end{eqnarray*}$ , da steckt die vollständige Lösung für dein Problem drin.

Anmerkung: Die Lösung dieses Problems beweist, dass ein endlicher Körper nicht angeordnet sein kann. Lehrer

04.09.2011, 19:00

jester.

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Beachte überdies bitte, dass so etwas wie

Zitat:

*: KxK->K, *(n,m)=n*m mod(#K)

alles andere als sinnvoll ist.
Es gibt nämlich beispielsweise einen endlichen Körper mit 4 Elementen, aber dieser ist nicht isomorph zum Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ - die Multiplikation modulo 4 führt einen hier gar nicht weiter, da $\begin{eqnarray*} 2\cdot 2 \equiv 0 \pmod 4 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} 2\not\equiv 0 \pmod 4 \end{eqnarray*}$ .

Du solltest dich mal mit http://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper oder einer noch ausführlicheren Darstellung der Theorie endlicher Körper vertraut machen.

Nachtrag: die englische und die französische Version dieses Artikels sind weitaus ausführlicher. Das ist natürlich nur interessant, falls dir diese Sprachen zusagen.

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