Definition teilerfremde Polynome

04.09.2011, 09:38

PeterSchmitt

Definition teilerfremde Polynome

Hallo,
ich habe eine Frage zur Definition teilerfremder Polynome bei uns im Skript. Diese lautet folgendermaßen:

Zitat:

Zwei Polynome $\begin{eqnarray*} P, P' \in K[x]; 0 \neq P, P' \end{eqnarray*}$ heißen teilerfremd, falls aus $\begin{eqnarray*} P = QR, P' = Q'R \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} R = const. \end{eqnarray*}$

Was ich nicht verstehe ist, warum R = const. sein soll. Muss nicht R = 1 folgen?

Vielen Dank!
Peter

04.09.2011, 10:25

jester.

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Das macht keinen großen Unterschied, solange $\begin{eqnarray*} R\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist (aber das wäre ja sowieso langweilig). Denn dann kann man, da wir uns im Polynomring $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ über einem Körper befinden, mit $\begin{eqnarray*} R^{-1} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

Edit: Google sagt, dass man "sowieso" als ein Wort schreibt, also werde ich das ab jetzt auch tun...

04.09.2011, 12:44

PeterSchmitt

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Danke für deine Antwort!

Ich verstehe es nicht ganz.

Warum soll es keinen Unterschied machen? Wenn ich mit $\begin{eqnarray*} R^{-1} \end{eqnarray*}$ multipliziere teile ich auch nicht mehr duch $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ sonder durch $\begin{eqnarray*} PR^{-1} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} P'R^{-1} \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} PR^{-1} = Q1, P'R^{-1} = Q'1 \end{eqnarray*}$

Peter

06.09.2011, 07:44

jester.

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Entschuldige bitte, ich habe diese Frage ein wenig aus den Augen verloren. Du musst dir nur klarmachen, dass - mal ins Unreine gesprochen - im Polynomring jede Konstante ungleich Null "so gut" wie die 1 ist, denn die Konstanten ungleich Null sind die Einheiten des Polynomrings.
Wenn du mit dem Begriff des Ideals schon vertraut bist, wird das ganze klar, denn die von dir angegebene Definition der Teilerfremdheit liefert eben genau, dass die von zwei teilerfremden Polynomen erzeugten Ideale teilerfremd sind (i.e. ihre Summe ist der ganze Ring).
Falls dir diese Begriffe nichts sagen, ist das nicht schlimm. Dann versuche aber mal, dir klarzumachen, dass der ggT im Polynomring nur bis auf Multiplikation mit von Null verschiedenen Konstanten eindeutig ist. So wie er in den ganzen Zahlen nur bis auf Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ eindeutig ist.

07.09.2011, 22:22

PeterSchmitt

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Super!
Jetzt ist mir einiges klarer.

Dankeschön smile

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