Partialbruchzerlegung

04.09.2011, 11:45

Cheftheoretiker

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Partialbruchzerlegung

Hallo,

ich möchte für folgende Funktion eine Partialbruchzerlegung durchführen,

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-5}{x^2-6x+9} \end{eqnarray*}$

Ich würde nun als erstes den Nenner faktorisieren. Irgendwie hänge ich aber schon dabei, da mein Rechner mir anzeigt das die Nennerfunktion nur eine Nullstelle besitzt. Darf ich diese eine Nullstelle dann einfach als doppelte Nullstelle schreiben? verwirrt

verwirrt

hangman!

Wink

04.09.2011, 11:46

Equester

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Ja, darfst du natürlich als doppelte Nullstelle schreiben (also mit Quadrat Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Aber bevor ich weiterrede:
[WS] Partialbruchzerlegung

Da hat sich jemand viel Mühe gegeben und ich hoffe er hat sich sehr
verständlich ausgedrückt Ups

Ups

Dann frage gerne wieder Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.09.2011, 11:56

Cheftheoretiker

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Ja, für einfache Nullstellen sollte ich die Zerlegung hinbekommen! Big Laugh

Big Laugh

Ich probier es einfach mal,

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-5}{(x-3)(x-3)}=\frac{A_1}{x-3}+\frac{A_2}{(x-3)^2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nun mit der Zuhaltemethode mache, dann müsste ich doch $\begin{eqnarray*} (x-3)^2 \end{eqnarray*}$ zudecken. Dann steht dort nur noch $\begin{eqnarray*} A_2=3-5=-2 \end{eqnarray*}$

? verwirrt

verwirrt

04.09.2011, 12:04

Equester

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Yup, das ist richtig.
Aber wie du es schon richtig gemacht hast, funktioniert die Zuhaltemethode nicht,
bei doppelten Nullstellen für den einfachen Term.
Wie gehst du da ran? Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.09.2011, 12:40

Cheftheoretiker

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Ich muss jetzt die Gleichung lösen,

$\begin{eqnarray*} \frac{x-5}{(x-3)(x-3)}=\frac{A_1}{x-3}-\frac{2}{(x-3)^2} \end{eqnarray*}$

Dann mit dem Nenner multiplizieren...

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x-5=A_1*(x-3)-2 \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt nur noch die 3 einsetzen und nach $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ auflösen? verwirrt

verwirrt

04.09.2011, 12:42

Equester

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Nein, das wäre ja wieder ganz nach Zuhaltemethode.
Das geht ja deshalb nicht, weil du dann stehen hast: 0*A=... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie wäre es mit einem Koeffizientenvergleich?

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04.09.2011, 12:51

Cheftheoretiker

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Eventuell so? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} 3-5=A_1x-3A_1-2 \end{eqnarray*}$

Ist dann $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ nicht 3? Forum Kloppe

Forum Kloppe

04.09.2011, 12:57

Equester

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Wo ist das x auf der linken Seite hin? Ich sagte doch, dass wir das nicht ersetzen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir haben:
$\begin{eqnarray*} x-5=A_1x-3A_1-2 \end{eqnarray*}$

Ein Schritt vereinfacht:
$\begin{eqnarray*} x-3=A_1x-3A_1 \end{eqnarray*}$

Nun vergleiche. Alles was mit x zu tun hat, und alles das nix mit x zu tun hat.
Was gilt dann für A?

(Auch gerne im vorherigen Link nachzulesen, wie man da rangeht Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

04.09.2011, 13:02

Cheftheoretiker

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Ich kenne nur den Satz das zwei Polynome gleich sind, wenn sie die selben Koeffizienten haben.
verwirrt

verwirrt

04.09.2011, 13:05

Equester

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Schau hier:
[WS] Partialbruchzerlegung

Die linke Seite hat bei uns x=1...die Rechte x=A (wobei die rechte Seite des Gleichheitszeichens, der Vorfaktor darstellt.)

Um nur mal das $\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$ zu betrachten Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.09.2011, 13:10

Cheftheoretiker

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Dann muss doch $\begin{eqnarray*} A_1=1 \end{eqnarray*}$ sein. verwirrt

verwirrt

04.09.2011, 13:13

Equester

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Yup, das ist richtig und die Lösung.
Hast du es aber auch verstanden? :P
Ich kann nur immer wieder auf den Link verweisen Big Laugh

Big Laugh

Sonst aber frag nochmals nach.

04.09.2011, 13:18

Cheftheoretiker

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Das Prinzip schon, man schaut sich die linke Gleichung an und formt die rechte Gleichung solange um, bis man die Form der Potenzen der rechten Seite erhält. Dann kann man ausnutzen das ein Polynom gleich ist, wenn es die selben Koeffizienten hat. In diesem Fall ist es ja die 1. Soweit richtig? Big Laugh

Big Laugh

Mal ne' Frage, kommt in der Schule auch komplexere Partialbruchzerlegungen vor? Also ohne einfache Nullstellen? Big Laugh

Big Laugh

Danke!

smile

04.09.2011, 13:22

Equester

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Es kam bei mir in der Schule nicht mal eine einfache Partialbruchzerlegung dran :P
Von dem her kann ich da keine Aussage treffen.

Aber wenn ihr komplexe Zahlen behandelt habt...warum nicht?! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oder meinst du, wie du es sagst Zunge

Zunge

"komplexere" also mehrfache Nullstellen etc.
So wie wir es gerade gemacht haben.
Also wenn ihr PBZ macht, dann sicher auch mit mehrfachen Nullstellen! Sonst lohnt
es sich ja gar nicht das Thema anzuschneiden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deine Ausführung ist richtig! Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.09.2011, 13:25

Cheftheoretiker

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Ich meine ein Polynom zerfällt in den reellen Zahlen ja nicht immer vollständig - die komplexen Zahlen nehmen wir nicht durch - deswegen gibt es doch dann nur den Fall dass das Nennerpolynom nicht vollständig zerfällt und da wirds dann ja noch kniffliger Big Laugh

Big Laugh

04.09.2011, 13:26

Equester

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Also, wenn ihr die komplexen Zahlen nicht behandelt habt, dann wird die Aufgabenstellung
immer so sein, dass ihr den Nenner komplett in reelle Linearfaktorten zerlegen könnt.

04.09.2011, 13:28

Cheftheoretiker

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Okay, vielen dank! smile

smile

hangman!

Wink

04.09.2011, 13:30

Cheftheoretiker

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Mal noch ne' Frage, hast du eventuell ein Skript oder sowas noch wo es Übungsaufgaben dazu gibt? Big Laugh

Big Laugh

04.09.2011, 13:35

Equester

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Da kann ich auch nur googlen. Selbst hab ich da nichts rumliegen:

http://vwi.sledge.de/MatheA/loes/Partial...-LoesUebung.pdf

Da kannste mal schaun, oder sonst selbst googlen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei Fragen, melden. Weißt ja Bescheid.

Wink

Wink

04.09.2011, 13:37

Cheftheoretiker

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Okay, vielen dank! Tanzen

Tanzen

04.09.2011, 13:39

Equester

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Gerne

smile

04.09.2011, 14:21

Cheftheoretiker

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Ich muss leider nochmal nerven unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{9}{(x-1)(x+2)^2} \end{eqnarray*}$

Ich will wieder die Partialbruchzerlegung drauf anwenden.

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B_1}{(x+2)}+\frac{B_2}{(x+2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ erhalte ich mit der Zuhaltemethode,

$\begin{eqnarray*} A=1 ; B_2=-3 \end{eqnarray*}$

Nun fehlt noch $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{1}{(x-1)}+\frac{B_1}{(x+2)}-\frac{3}{(x+2)^2} \end{eqnarray*}$

Nun wieder mit dem HN multiplizieren,

$\begin{eqnarray*} 9=(x+2)^2+B_1(x-19(x+2)-3(x-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow 9=(x^2+4x+4)+B_1x^2+B_1x-2B_1-3x+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow 9=x^2+4x+4+B_1x^2+B_1x-2B_1-3x+3 \end{eqnarray*}$

Nun kann ich es ja auch umschreiben zu,

$\begin{eqnarray*} 0x^2+0x+9=x^2(1+B_1)+x(4+B_1-3)-2B_1+7 \end{eqnarray*}$

Ich würde nun folgern das $\begin{eqnarray*} B_1=0 \end{eqnarray*}$ sein muss? Laut Lösung ist es aber falsch... Forum Kloppe

Forum Kloppe

04.09.2011, 14:29

Equester

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Wie kommst du auf diese Schlussfolgerung? Ist alles richtig, soweit ich sehe.
Vereinfache einfach mal weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.09.2011, 14:31

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Equester
Wie kommst du auf diese Schlussfolgerung?

Ja weil doch $\begin{eqnarray*} x^2=0 \end{eqnarray*}$ ist und demnach muss doch auf der rechten Seite auch $\begin{eqnarray*} x^2=0 \end{eqnarray*}$ sein? verwirrt

verwirrt

04.09.2011, 14:34

Equester

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Ja, das ist die richtige Schlussfolgerung.
Jetzt die richtige Umsetzung^^.

Links:
x²=0

Rechts:
x²=1+B

->
x²: 0=1+B

Das muss natürlich für alle Komponenten erfüllt sein. Das kannst du dann als Kontrolle
noch machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.09.2011, 14:37

Cheftheoretiker

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Achso

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} B_1=-1 \end{eqnarray*}$

Irgendwie find ich das aber komisch, schließlich soll doch der Ausdruck $\begin{eqnarray*} (1+b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ multipliziert werden. Das wäre doch in dem Fall $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ? Bzw. wieso darf man daraus einfach eine Gleichung machen? verwirrt

verwirrt

04.09.2011, 14:44

Equester

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Das ist doch ein Vergleich.

Ich verstehe dein Problem nicht. Du dividierst ja nicht durch 0, sondern vergleichst nur.
Da ist das mit der 0 schon erlaubt Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.09.2011, 14:49

Cheftheoretiker

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Ok!

Big Laugh

Vielen dank! smile

smile

04.09.2011, 14:51

Equester

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Kein Ding

smile

Wink

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