Isometrie und Drehmatrix

04.09.2011, 12:40	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Isometrie und Drehmatrix Hallo, ich versteh hier wieder was nicht so ganz.. Also in einer Isometrie gilt: Jeder Eigenwert x von phi ist \|x\|=1, dann besitzt der Vektorraum eine ONB (Orthonormalbasis) aus Eigenvektoren. Weiter gilt: Die Matrix $\begin{eqnarray} M(\phi)=diag(E_k, -E_l, R(\alpha_i)) \end{eqnarray}$ Für die alpha_i gilt, dass $\begin{eqnarray} 0<\alpha_1 \leq \alpha_2\leq ...\leq\alpha_m<1 \end{eqnarray}$ Und R beschreibt die Rotationsmatrix um den angegebenen Winkel, die $\begin{eqnarray} E_k,E_l \end{eqnarray}$ sind Einheitsmatrizen mit k bzw. l Zeilen. Nun ist meine Frage, wie ich die Rotationsmatrizen im Komplexen bestimme. Also Ist der Eigenwert reell und 1, so resultiert E_k, ist er -1 so folgt -E_l, ist er komplex muss die Rotationsmatrix verwendet werden. Jedoch wie bestimme ich diese Rotationsmatrizen im Komplexen? Sie sind immer 2x2. Was ich dazu gelesen habe ist, dass das was mit der exponentiellen Darstellung zu tun hat... $\begin{eqnarray} Rad(45°)=\frac{\pi}{4}<br /> Polar(45°)=\exp(i\cdot\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray}$ (wenn ich das so richtig erschlossen habe..) Liebe Grüße und Vielen Dank schonmal Shalec
04.09.2011, 13:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsmatrizen in $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ haben immer die Form $\begin{eqnarray} R_{\alpha}=\begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1 \end{eqnarray}$ ist deren Determinante gleich 1 . In $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} z\to e^{i\alpha}z \end{eqnarray}$ die Drehung um den Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} z=re^{i\varphi}\to e^{i\alpha}\cdot re^{i\varphi}=re^{i\cdot (\alpha+\varphi)} \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »