Zeigen, dass ein Polynom keine Nullstelle hat |
| 04.09.2011, 12:55 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Zeigen, dass ein Polynom keine Nullstelle hat Ich möchte von einem Polynom vierten Grades mit recht komplizierten Koeffizienten zeigen, dass es keine Nullstelle besitzt. Gibt es dafür eine gute Methode? Oder einen Satz, der mir das unter gewissen Voraussetzungen liefert? Cordovan |
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| 04.09.2011, 13:01 | Tim2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wie sieht das polynom denn aus? kann man vllt substituieren, um sie nullstellen auszurechnen? |
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| 04.09.2011, 13:02 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Zeigen, dass ein Polynom keine Nullstelle hat um zu zeigen, dass es (im reellen) keine nst. hat gibt es mehrere möglichkeiten... zeige, dass es >0 (bzw. <0) für alle x ist, oder argumentiere anhand der extrema und monotonie, sei kreativ 
lg |
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| 04.09.2011, 13:06 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das Polynom eignet sich nicht dazu, Nullstellen oder Extrema auszurechnen. Die entstehenden Gleichungen sind nicht lösbar.
Das ist schon klar
Die Extrema lassen sich nicht analytisch bestimmen. Von der Ableitung ist es nicht einfacher zu zeigen, dass sie ungleich 0 ist. Daher wird das mit der Monotonie auch nichts. Cordovan |
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| 04.09.2011, 13:10 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
mhh, es ist also ein polynom, mit dem sich nicht rechnen lässt... schwer zu sagen, wie du dann beweisen sollst, dass es keine nst. hat... |
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| 04.09.2011, 13:13 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Frage ist: gibt es Methoden, die Anzahl der Nullstellen abzuschätzen, ohne einfach direkt alles maschinenartig auszurechnen (was man schon in der Schule lernt). Ich denke da an so etwas wie den Satz von Rouché. |
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| 04.09.2011, 13:17 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wenn du zeigen willst, dass es welche hat, kannst du, solange die entsprechende fkt. stetig ist (nehm ich mal an wenns ein polynom ist), mit zwischenwertsatz beweisen, DASS es zumindest nst.en gibt.. lg |
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| 04.09.2011, 13:19 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Äh... was hat das mit meinem Problem zu tun? 
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| 04.09.2011, 13:22 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
du hast grad gefragt:
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| 04.09.2011, 13:24 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Irgendwie reden wir aneinander vorbei. Also mein Problem nochmal:
Da hilft mir der Zwischenwertsatz überhaupt nichts. Cordovan |
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| 04.09.2011, 13:30 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja weis ich doch, du wolltest erst wissen, wie du zeigst, dass es keine hat, ich meine das ist sehr schwierig und kommt speziell aufs polynom an, wenn es so unhandlich ist. dann hast du gefragt, wie man die anzahl an nst. abschätzen kann, da bin ich jetzt davon ausgagangen, dass du mit "anzahl" etwas >0 meinst... naja sry, kann dir wohl nicht wirklich weiterhelfen lg |
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| 04.09.2011, 13:32 | Cheftheoretiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn du ein reelles Polynom hast, könntest du argumentieren, dass es nicht vollständig zerfällt. |
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| 04.09.2011, 13:38 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielleicht hilft auch die Vorzeichenregel von Descartes, aber warum gibst du das Polynom, um das es geht, eigentlich nicht hier an? |
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| 04.09.2011, 14:06 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dass ich das Polynom nicht angebe, hat zwei Gründe. Erstens gehen die Koeffizienten davon schon jeweils über eine Seite und die Arbeit, das zu schreiben und zu lesen wollte ich sparen. Der wesentliche Grund ist aber, dass ich nach allgemeinen Resultaten zu dem Thema suche, da mir vermutlich noch andere Polynome mit anderen Graden begegnen werden, bei denen ich das gleiche Problem habe. Die Vorzeichenregel von Descartes ist schon nicht schlecht, um aber zu zeigen, dass ein Polynom keine (positive) Nullstelle hat, müssten alle Koeffizienten das gleiche Vorzeichen haben. Cordovan |
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| 04.09.2011, 14:24 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat ein reelles Polynom 4. Grades genau 4 komplexe Nullstellen. Berechne diese und du weißt, ob sie reell sind oder nicht. |
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| 04.09.2011, 14:35 | Cheftheoretiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, so hätte ich es auch versucht. Du führst einen Beweis durch Widerspruch und nimmst an, dass das Polynom komplett zerfällt. |
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