Bestimmen ganzrationaler Funktionen - lineares Gleichungssystem

04.09.2011, 15:56

lili_rose

Bestimmen ganzrationaler Funktionen - lineares Gleichungssystem

Meine Frage:
Ich komme einfach nicht mit dieser Aufgabe weiter...

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion 3. Grades.
Der Koordinatenursprung ist Punkt des Graphen (Ich habe es schon mit f(0)=0 ausprobiert...), W(2/4) ist der Wendepunkt, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung $\begin{eqnarray*} -3 \end{eqnarray*}$ .

Mein Mathelehrer meint, man muss 4 Bedingungen für eine Funktion 3. Grades haben.

Mein Problem ist... Ich komme nicht auf die vierte Bedingung.

Kann mir jemand weiterhelfen? Wäre suuuper nett :-)

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} f(2)= 4<br /> f'(2)= -3<br /> f''(2)= 0 \end{eqnarray*}$

04.09.2011, 16:00

DP1996

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Du hast doch selbst schon gesagt, dass du es schon mit f(0)=0 probiert hast. Warum hast du das wieder bleiben gelassen? Das ist deine 4. Bedingung.

04.09.2011, 16:17

lili-rose

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Ja, ich hab es schon mit f(0)=0 ausprobiert. Aber wenn ich die Probe durchgeführt habe, kamen nicht die Werte der Bedingungen raus.

04.09.2011, 16:20

Helferlein

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Dann schreib doch mal deine Rechnung hin.
Wie DP1996 Dir ja schon gesagt hast, ist f(0)=0 die fehlende Bedingung.

04.09.2011, 16:24

shangoe

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Zitat:

Original von lili-rose
Aber wenn ich die Probe durchgeführt habe, kamen nicht die Werte der Bedingungen raus.

Habe deine Aufgabe jetzt nicht nachgerechnet, es ist prinzipiell bei solchen Aufgaben aber möglich, dass man alles richtig gemacht hat (Bedingungen richtig aufgestellt, Koeffizienten richtig bestimmt) aber die Probe doch zeigt, dass das durch richtige Rechnung erhaltene Ergebnis dennoch falsch ist. Liegt an der Verwendung des hinreichenden Kriteriums für Extrema / Wendepunkte.

04.09.2011, 16:40

lili-rose

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Meine Rechnung...

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3ax^2+2bx+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=6ax+2b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a*(0^3)+b*(0^2)+(2*0)+d=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a*(2^3)+b*(2^2)+2c+d=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3a*(2^2)+4b+c=-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12a+2b=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8a+4b+2c=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12a+4b+c=-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12a+2b=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8a+4b+2c=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12a+4b+c=-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2b=0 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8a+2c=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12a+c=-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4a+c=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4a+(1/3)c=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4a+c=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (4/3)c =-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4a-2,25=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=-2,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4a=4,25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=(17/16) \end{eqnarray*}$

Führe ich jetzt die Probe durch...bestätigen sich die Bedingungen f(0)=0 und f(2)=4. Die anderen beiden Bedingungen jedoch nicht.

Vielleicht habe ich mich ja irgendwo verrechnet?!

04.09.2011, 17:34

Helferlein

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Die Gleichungen stimmen soweit, aber bei den Umformungen hapert es.

Woher hast Du die 2b=0?
Das ist nämlich falsch und sorgt natürlich in der Folge für ein falsches Ergebnis bei den anderen Variablen.

04.09.2011, 18:47

lili-rose

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Danke für die Hilfe....

Ich habs jetzt noch als Matrix um Taschenrechner eingegeben und folgende Ergebnisse bekommen:

$\begin{eqnarray*} a=1,25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=-7,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d=0 \end{eqnarray*}$

Probe ist auch positiv verlaufen smile

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