Gramsche Matrix

05.09.2011, 10:43	greekm812	Auf diesen Beitrag antworten »
Gramsche Matrix Meine Frage: Hey Leute, hab bald meine Zwischenprüfung in Mathe Lineare Algebra. Habe eineige Fragen dazu, zum Beispiel über die Gramsche Matrix. Iwie komm ich mit der Defintion in unserem Skript nicht klar, wäre nett wenn ijem mir in "Normalen Sätzen" den Sinn verdeutlichen könnte und wenn euch n Beispiel einfallen würde wäre ich sehr dankbar: Liebe Grüße Meine Ideen: Die Defintion in unserem Skript is die folgende: Sei V ein n-dimensionaler K-VR , und B(vi,...,vn) eine Basis von V und s: VxV-> K ein BLF , dann ist: Mb(s)= (bij) mit bij:=s(vi,vj) Die Gramsche Matrix von s bzgl. B.
05.09.2011, 11:34	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bei der Gram'schen Matrix geht es darum, dass du zunächst zu einem Vektorraum eine Basis von diesem sowie eine entsprechende Bilinearform hast. Also sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein Vektorraum zB $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B=\{b_1,\ldots ,b_n\} \end{eqnarray}$ die Basis. Eine Bilinearform wäre zB das Standart-Skalar-Produkt $\begin{eqnarray} <\cdot\ ,\ \cdot > \end{eqnarray}$ . Dann ist die dazugehörige gramsche Matrix diese hier: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}<b_1,b_1>&<b_1,b_2>&\ldots&<b_1,b_n>\\<br /> <b_2,b_1>&<b_2,b_2>&&\\<br /> \vdots&&\ddots&<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für den Fall, dass du eine Orthonormalbasis hast, ist die gramsche Matrix die Einheitsmatrix. Dann gibt es natürlich auch ein paar Anwendungen: Die Gramsche Matrix für das Standart-Skalar-Produkt auch anders erzeugt werden. Wenn du Nämlich eine Matrix A hast, erhält man die Gramsche Matrix durch $\begin{eqnarray} A^TA \end{eqnarray}$ . So kann man zB in Differentialgleichungssystemen Kontrollierbarkeit und Beobachtbarkeit bestimmen. Oder in der Finiten-Elemente-Methode kommt bei der Berechnung der Lösung ebenfalls die gramsche Matrix vor, allerdings für eine Bilinearform auf einem Funktionenraum.
05.09.2011, 11:39	greekm812	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort, jetzt wird mir einiges klar

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