Konvergenz von Reihen - Sinus

05.09.2011, 12:04	Wholigan	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen - Sinus Meine Frage: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \sin(\frac{1}{k} )- \sin(\frac{1}{k+1} ) \end{eqnarray}$ Bestimme ob die Folge divergiert, konvergiert oder absolut konvergiert. Meine Ideen: Bin noch nicht weit gekommen da das sinus mich ein bisschen verwirrt. Nehme an dass hier das Quotientenkriterium am besten passt. Ich muss also ermitteln ob $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty } \| \frac{\sin(\frac{1}{k+1} )- \sin(\frac{1}{k+2} )}{\sin(\frac{1}{k} )- \sin(\frac{1}{k+1} )} \| \end{eqnarray}$ < 1 ist. Kann ich das auf $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty } \| \frac{ -\sin(\frac{1}{k+2} )}{\sin(\frac{1}{k} )} \| \end{eqnarray}$ kürzen? Und wenn ja, was ist mein nächster schritt? Danke für die hilfe!
05.09.2011, 12:17	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \sin\left(\frac 1 k \right) - \sin \left(\frac{1}{k+1}\right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n \sin\left(\frac 1 k \right) - \sin \left(\frac{1}{k+1}\right) \end{eqnarray}$ Da steht dann eine Teleskopsumme, deren Grenzwert man ganz einfach abliest. Anschließend kannst du den Grenzübergang durchführen. Zu deiner Idee: Aus Summen darf man nicht kürzen, das solltest du mittlerweile wissen. Desweiteren liefert das Kriterium hier keine Aussage.
05.09.2011, 14:22	Wholigan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bekomme also nach dem aufaddieren: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sin(\frac{1}{n} ) - \sin(\frac{1}{\infty } ) \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \sin(0) - \sin(0) = 0 \end{eqnarray}$ Die Reihe ist also absolut konvergent mit dem Grenzwert = 0 Richtig?
05.09.2011, 14:54	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, der Term für die Partialsummen ist falsch. Überprüfe das nochmal und schreibe das vor allem mal ordentlich auf. Vielleicht tust du dir auch leichter wenn du mal die ersten paar Summanden aufschreibst.

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