Isomorphismus

05.09.2011, 12:54	lunax	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus HI! Ich verzweifle an folgendem Problem: Dass Der Vektorraum aller linearen Abbildungen (V->W) mit dim(V)=n , dim (W)= m. Ich soll zeigen, dass dieser Isomorph zu K^(n*m) ist. Ich habe leider überhaupt keine Idee, wie eine solche Abbildung aussehen könnte.
05.09.2011, 13:09	phlowe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus Wie weit bist du denn in der Algebra? Denn die Aufgabe kann ganz einfach sein, wenn du ein bisschen vorwissen hast
05.09.2011, 13:15	lunax	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe ein bisschen Lineare Algebra 1 gehört, aber nicht sonderlich viel verstanden. Als ich den Stoff wiederholen wollte, tauchte diese Frage auf.
05.09.2011, 13:22	phlowe	Auf diesen Beitrag antworten »
Habt ihr Abbildungsmatrizen behandelt? Also die Zuordnung einer Abbildung zu einer Matrix? Basen dürftest du kennen oder?
05.09.2011, 14:04	lunax	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm Die Zuordnung einer Abbildungsmatrix zu einem Vektor in K^(n*m) ist linear und sicherlich auch surjektiv, aber auch injektiv?
05.09.2011, 14:08	phlowe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja klar, stell dir vor du nimmst die spalten deiner matrix und schreibst sie einfach untereinander. wann sind zwei vektoren gleich? wenn alle ihre koeffizienten gleich sind. somit sind die koeffizienten in der matrix auch gleich, und somit die matrizen gleich.
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05.09.2011, 14:14	lunax	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt! vielen dank!
05.09.2011, 14:33	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ könntest du auch über die Dimension gehen, d.h. nur zeigen, dass $\begin{eqnarray} Hom_K(V,W) \end{eqnarray}$ die Dimension $\begin{eqnarray} nm \end{eqnarray}$ hat, schließlich sind endl. dim. Vektorräume über dem selben Körper genau dann isomorph, wenn sie die gleiche Dimension haben. Um nun die Dimension nachzuweisen, betrachtet man die Abb. $\begin{eqnarray} \alpha_{ij} \in Hom_K(V,W), 1 \leq i\leq n, 1\leq j \leq m \end{eqnarray}$ , definiert durch: $\begin{eqnarray} \alpha_{ij}(v_k) := \delta_{ik}w_j \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} v_1,\dotsc, v_n \end{eqnarray}$ Basis von V und $\begin{eqnarray} w_1,\dotsc, w_m \end{eqnarray}$ Basis von W. Wenn du zeigen kannst, dass diese $\begin{eqnarray} \alpha_{ij} \end{eqnarray}$ 's eine Basis bilden, so wirst du über den irgendwann kommenden Dualraum nur lachen Eigentlich ist das, was das Verständnis von LA I angeht, nicht wirklich der sinnvollste Weg, aber es ist eine gute Gelegenheit, sich mit der Technik des Kronecker-Deltas in Summen vertraut zu machen. Das kann nie schaden.

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