Untersuchung der Reihe auf Konvergenz

05.09.2011, 16:20

geomath

Untersuchung der Reihe auf Konvergenz

Hey,

ich habe folgende Reihe auf Konvergenz zu untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{{4n \choose 3n}} \end{eqnarray*}$ .

Folgende Überlegungen: erstmal die Reihe umformen in

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\frac{(4*n)!}{(3*n)!*(4*n-3*n)!} } \end{eqnarray*}$ und weiter zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(3*n)!*n!}{(4*n)!} \end{eqnarray*}$ .

An dieser Stelle meine Frage, bevor ich weitermache!

Ist $\begin{eqnarray*} (3*n)!=3*6*9*...*(3*n-3)*(3*n) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1*2*3*...*(n-1)*n*(n+1)*...*(2*n-1)*(2*n)*(2*n+1)*...*(3*n-1)*(3*n) \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiß, sowas sollte man eigentlich wissen *schäm*
Mein Tipp wäre die erste Variante, denn ich setze ja eigentlich für n meine Werte ein, multipliziere diese jeweils mit 3 und das sind dann meine Faktoren, wenn ich die Fakultät auflöse, richtig?

Wäre super, wenn jemand von euch das kurz bestätigen würde, dann leg ich mit meinen Überlegungen los!!

Viele Grüße,
geomath

05.09.2011, 16:45

chrizke

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RE: Untersuchung der Reihe auf Konvergenz

Zitat:

(...)

Ist $\begin{eqnarray*} (3*n)!=3*6*9*...*(3*n-3)*(3*n) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1*2*3*...*(n-1)*n*(n+1)*...*(2*n-1)*(2*n)*(2*n+1)*...*(3*n-1)*(3*n) \end{eqnarray*}$ ?

(...)

Mein Tipp wäre die erste Variante, denn ich setze ja eigentlich für n meine Werte ein, multipliziere diese jeweils mit 3 und das sind dann meine Faktoren, wenn ich die Fakultät auflöse, richtig?

Ja aber da stehen ja noch Klammern: $\begin{eqnarray*} (3n)! \end{eqnarray*}$
Das heißt du musst erst die Klammer auswerten und dann den Fakultätsoperator:
Somit gilt deine Variante 2.

Andernfalls wäre ja $\begin{eqnarray*} (3n)! = 3\cdot (n!) \end{eqnarray*}$ und das ist nicht der Fall.

05.09.2011, 20:08

geomath

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Hey,

danke erstmal, das leuchtet ein. Ok, dann also weiter!

Wir haben hier viele Fakultäten, da würde ich spontan mal das Quotientenkriterium drüberjagen. Dabei muss ja die Summe aber von 0 losgehen. Muss ich das so umbauen?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(3*n)!*n!}{(4*n)!} - 1 \end{eqnarray*}$

Und dann das Kriterium auf die neue Summe anwenden?

Grüße geomath

05.09.2011, 20:41

geomath

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Ähm, Nachtrag meinerseits: Für die Konvergenz ist es doch unerheblich, ob die Summe bei 1 oder 0 oder 10 anfängt, denn wichtig ist doch nur, dass ich gegen unendlich betrachte, dann kann ich doch einige Glieder vernachlässigen, oder?

Also wende ich das Quotientenkriterium einfach mal auf meine Ausgangsreihe an:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{(3*n+3)!*(n+1)!}{(4*n+4)!} }{\frac{(3*n)!*n!}{(4*n)!} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(3*n+3)!*(n+1)!*(4*n)!}{(4*n+4)!*(3*n)!*n!} \ \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(3*n+1)*(3*n+2)*(3*n+3)*(n+1)}{(4*n+1)*(4*n+2)*(4*n+3)*(4*n+4)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{27*n^4+a*n^3+b*n^2+c*n+d}{256*n^4+e*n^3+f*n^2+g*n+h} \end{eqnarray*}$ , und jetzt klammern wir die höchste Potenz aus führen den Grenzübergang durch, Ergebnis = $\begin{eqnarray*} \frac{27}{256}<1 \end{eqnarray*}$ .

Demnach müsste die Reihe konvergieren. Die Betragsstriche, die ja eigentlich zum Kriterium dazugehören, habe ich weggelassen, weil alle Terme positiv sind!

Ist das Ergebnis so richtig, bzw. die Überlegung oben, dass ich das Kriterium anwende, obwohl die Summe bei 1 und nicht bei 0 losgeht, wie es ja eigentlich beim Quotientenkriterium sein sollte?

Viele Grüße,
geomath

P.S.: Seien a,b,c,d,e,f,g,h $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

05.09.2011, 22:47

A. Praeter

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Offenbar gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac 1{{4n\choose 3n}}\leq \frac 1{4^n}. \end{eqnarray*}$

Damit geht's etwas einfacher.

06.09.2011, 08:26

geomath

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Ok,

die Umformung sehe ich nicht sofort, aber ich entnehme mal kühn deiner Aussage, dass mein Weg prinzipiell auch funktioniert, auch wenn sich aus deiner Überlegung die Aufgabe gewissermaßen erledigt hat smile

Grüße geomath

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