Zeige Kompaktheit einer Kreislinie

06.09.2011, 12:05

LyriaEL

Zeige Kompaktheit einer Kreislinie

Hallo

Ich arbeite gerade an einer Aufgabe, wo man zeigen muss, dass eine Kreislinie kompakt ist. Intuitiv ist mir das klar und auch im Skript bei uns steht das schon. Leider aber ohne Beweis und ich krieg selbst keinen hin.
Aber zuersteinmal die vollständige Aufgabe:

Gegen Sie für die Menge

$\begin{eqnarray*} S:= \left\{ (x,y) \in \mathbb R^{2}: x^{2} + y^{2} = 2\right\} \subset \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$

das Innere und den Rand an, und untersuchen Sie, ob $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ Komakt ist.

Ich denke der erste Schritt wäre zu zeigen, dass der Rand von S gerade die Menge von S ist. Darauf würde dann auch folgen, dass das Innere von S die leere Menge ist.

Um die Kompaktheit zu eigen könnte man den Satz von Heine-Borell anwenden, der besagt dass in R gilt: kompakt <=> abgeschlossen und beschränkt.
beschränkt könnte man zeigen in dem man eine eine "Scheibe" mit grösserem Radius als 2 angeben würde.
Würde nicht auch aus der tatsache dass der Rand von S gerade S ist folgen, dass S abgeschlossen wäre?

Soweit meine Überlegungen. Könnt ihr mir bitte sagen, ob das so weit ok ist?
Das nächste grosse Problem ist die genau Beweisführung, da ich das wohl vorbildlich mit hübschen Epsilon-Bällen und ähnlichem machen sollte.

Liebe Grüsse
lyri

06.09.2011, 12:10

tmo

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1. Es ist richtig, dass der Rand von S gerade S ist.

2. Heine-Borel ist eine gute Idee. Die Beschränktheit hast du auch schon richtig nachgewiesen, bzw. hast die richtige Idee.

3. Aus $\begin{eqnarray*} \partial S = S \end{eqnarray*}$ folgt in der Tat, dass S abgeschlossen ist, denn eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält.

Allerdings kann man letzteres noch viel einfacher folgern: Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen sind abgeschlossen.

06.09.2011, 13:26

LyriaEL

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Hallo tmo!

Danke für deine Antwort, ich bin froh, dass du mir deine Überlegungen soweit bestätigen konntest.

Das Hauptproblem ist nun, wie ich zeige, dass S gerade der Rand von S ist. Ich kann das leider nicht einfach voraussetzen.

Zitat:

Allerdings kann man letzteres noch viel einfacher folgern: Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen sind abgeschlossen.

Müsste ich dafür die Menge als sinus-cosinus funktion umschreiben? Und welche Menge ist dann die Bildmenge und welche die Urmenge?

Angenommen ich würde das verstehen und könnte das so zeigen, dann wüsste ich, dass die Menge abgeschlossen ist.
Daraus kann ich aber noch nicht Folgen, dass S gerade der Rand von S ist, oder? Also muss ich das sowieso nachweisen.

06.09.2011, 14:13

tmo

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Zitat:

Original von LyriaEL
Das Hauptproblem ist nun, wie ich zeige, dass S gerade der Rand von S ist. Ich kann das leider nicht einfach voraussetzen.

Dann konzentrieren wir uns jetzt einmal auf dieses Problem, dann kriegst du ja die Abgeschlossenheit geschenkt, wie du selbst schon bemerkt hast.

Dazu sind zwei Dinge zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \partial S \subseteq S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S \subseteq \partial S \end{eqnarray*}$ .

Wir fangen einfach mal mit dem ersten an:

Sei also $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \partial S \end{eqnarray*}$ und wir nehmen das Gegenteil des Gewünschten an, d.h. $\begin{eqnarray*} (x,y) \notin S \end{eqnarray*}$ .
Dies liefert uns $\begin{eqnarray*} 2 \neq x^2+y^2 = \| (x,y) \|^2 \end{eqnarray*}$ .

Nun musst du ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ konstruieren, sodass die Epsilon-Umgebung um (x,y) disjunkt mit S bleibt.

$\begin{eqnarray*} \varepsilon = |\sqrt{2}-\| (x,y) \|| \end{eqnarray*}$ wäre ein ganz guter Kanditat.

PS: Diese Richtung ist übrigens die aufwendigere. Andererseits ist dies genau die Richtung, die man geschenkt kriegt, falls man schon gezeigt hat, dass S abgeschlossen ist. Daher rührte mein Vorschlag. Aber wir können das ja jetzt erstmal so durchziehen und danach dann die Abgeschlossenheit elleganter zeigen.

06.09.2011, 15:01

LyriaEL

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Verstehe ich das richtig, dass du in deinem Beweis zeigst dass das Komplement von S offen ist? (Also dass man für jeden Punkt der nicht in S liegt ein Epsilonball machen kann der auch vollständig nicht in S liegt.) Daraus folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} \partial S \subseteq S \end{eqnarray*}$ .

Für die andere Richtung muss gelten:
$\begin{eqnarray*} S \subseteq \partial S \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall (x,y) \in S: (x,y) ist Randpunkt \end{eqnarray*}$

und für Randpunkt a gilt:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0: B_{\epsilon}(a) \cap A \neq \emptyset \wedge B_{\epsilon}(a)\cap A^{} c \neq \emptyset \end{eqnarray*}$

Von der Skizze eines Kreises ist klar, dass man dieses Kriterum erfüllt ist, aber wie zeigt man das schön?
Kannst du mir da auch noch einmal helfen?

06.09.2011, 15:07

tmo

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Zu der ersten Frage: Das verstehst du genau richtig.

Zu der zweiten: Das ist eigentlich ganz einfach.
Zunächst einmal ist eine der beiden Schnitte trivialerweise nicht leer.

Zum anderen Schnitt:
Nimm dir eine beliebige Epsilon-Umgebung um den Punkt (x,y) und betrachte dann den Punkt $\begin{eqnarray*} \left( x+\frac{\varepsilon}{2},y\right) \end{eqnarray*}$ .

Dann musst du nur noch die 2 Fragen beantworten:

1. Ist dieser Punkt in der Epsilon-Umgebung?
2. Liegt dieser Punkt auf S oder im Komplement von S?

21.08.2014, 15:10

efsane14

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Reicht es zur Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ nicht zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \partial S \subseteq S \end{eqnarray*}$ gilt?

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