taylorpolynom mit fehlerabschätzung bestimmen

06.09.2011, 13:03

nils mathe lk hems

taylorpolynom mit fehlerabschätzung bestimmen

hallo
ich muss von folgender Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x \cdot e^x \end{eqnarray*}$
das Taylorpolynom n-ten Grades bestimmen.
n soll so gewählt werden, damit der Fehler in der Restgliedabschätzung kleiner 0,1 ist für $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$

also die verschiedenen ableitungen sind relativ einfach.

$\begin{eqnarray*} f'(x)= e^x ( 1+x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'' (x) = e^x (2+x) \end{eqnarray*}$
usw.

der wert bei x_0= 0 ist dann 1,2,3,4 ...

ich komm nur gerade überhaupt nicht darauf, wie ich das mit dem taylorpolynom machen soll mit dem selbst wählen...
soll ich einfach ausprobieren, bis ich das n habe mit dem fehler kleiner 0,1 ?

edit:

bsp:
die formel für die fehlerabschätzung ist ja:

$\begin{eqnarray*} R_n ( x, x_0 ) = \frac{1}{n!} \int_{x_0}^x \! (x-t)^n \cdot f^{(n+1)}(t) \, dt \end{eqnarray*}$

sähe die fehlerabschätzung bei n=3 dann so aus?

$\begin{eqnarray*} R_n ( 1, 0 ) = \frac{1}{3!} \int_{0}^1 \! (1-t)^3 \cdot 4 \, dt \end{eqnarray*}$

sprich, dass $\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(t) = \end{eqnarray*}$ "der wert der vierten ableitung bei $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist?" wenn ja müsste ich dann nicht auch für das t in der klammer bei (x-t)^n mit 0 ersetzen?

06.09.2011, 13:14

Cel

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Hey, kennst du die Lagrange-Darstellung des Restgliedes?

[Artikel] Taylorapproximation

Bestimme mal das n-te Restglied und schätze es nach oben ab, also in der Form $\begin{eqnarray*} R_n(x,0) \leq \dots \end{eqnarray*}$ .

06.09.2011, 13:33

nils mathe lk hems

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also schreibe ich dann einfach:

$\begin{eqnarray*} 0,1 \geq \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \cdot (x-x_0)^{n+1} \end{eqnarray*}$

und wähle jetzt einfach n=3 oder halt n= 4 und versuche es dann zu lösen...

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(\xi) \end{eqnarray*}$ wähle ich dann $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ne ganz normale ableitung wo ich 0 eingesetzt habe?

06.09.2011, 13:48

Cel

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Nein, du versuchst zunächst, $\begin{eqnarray*} \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \cdot x^n \end{eqnarray*}$ abzuschätzen. Das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ liegt zwischen 0 und x, wobei x zwischen 0 und 1 liegt. Insgesamt liegt $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ also zwischen 0 und 1. Guck dir mal die Ableitung an, rechne sie mal aus und denke an Monotonie und so.

06.09.2011, 14:09

nils mathe lk hems

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$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(\xi) \end{eqnarray*}$ muss ja da xi zwischen 0 und 1 liegt kleiner-gleich 1 sein oder?

damit kann ich sagen, dass

$\begin{eqnarray*} 0,1 \geq \frac{x^n}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

oder? und müsste jetzt nach n auflösen. für x wähle ich dann 1, da ich so rechts den größtmöglichen wert wähle. ? soweit so richtig?

dann käme ich am ende auf

$\begin{eqnarray*} (n+1)! \geq 10 \end{eqnarray*}$

und dann wäre n=3 ausreichend oder?

06.09.2011, 14:17

Cel

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Ich spring gleich mal an den Anfang:

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(\xi) \end{eqnarray*}$ muss ja da xi zwischen 0 und 1 liegt kleiner-gleich 1 sein oder?

Nein. Bestimme doch $\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(\xi) \end{eqnarray*}$ einmal konkret. Eine Vermutung hast du ja schon in deinem ersten Post gegeben.

06.09.2011, 14:27

nils mathe lk hems

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um es konkret zu bestimmen, mit der Bermerkung, dass ich auf meinen ersten Post achten soll fällt mir aber nur ein, eben eine der Ableitungen zu wählen.
Wenn ich dort jetzt 1 einsetze werden diese allerdings direkt sehr groß, da $\begin{eqnarray*} f''' (x) = e^x (3+x) \end{eqnarray*}$ zum Beispiel für die dritte Ableitung schon sehr viel ist.

und 1 sollte man ja einsetzen, da der wert ja maximal groß sein soll. Aber gerade wenn ich es konkret abschätze muss ich ja schon eine Ableitung wählen und somit n bestimmen oder?

06.09.2011, 14:31

Cel

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Aaaaalso. Dass es auf $\begin{eqnarray*} \xi = 1 \end{eqnarray*}$ hinausläuft, ist gut. Du sollst aber eben nicht die 3. Ableitung aufschreiben, sondern die (n+1). Und du weißt auch, wie sie lautet, ich glaube, dass du nur ein wenig den Wald vor lauter Bäumen nicht siehst. Schau mal:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= e^x ( 1+x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'' (x) = e^x (2+x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x) = e^x (3+x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x) = e^x (4+x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(5)}(x) = e^x(5+x) \end{eqnarray*}$

Das ist die 1., 2., 3., 4. und 5. Ableitung. Was ist dann die n+1 - erste Ableitung $\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$ ?

06.09.2011, 14:37

nils mathe lk hems

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$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x) = e^x(n+1+x) \end{eqnarray*}$

für x=1 ist das dann

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(1) = e^1(n+2) \end{eqnarray*}$

[
oder setze ich x=0, dass wäre im allgemeinen besser, da ich dann kürzen könnte...

$\begin{eqnarray*} 0,1\geq \frac{(n+1)}{n!\cdot(n+1)} \cdot (x)^{n+1} \end{eqnarray*}$

]

ich schätze das ist falsch, da ich dann ja auch ins x^(n+1) null einsetzen müsste oder?

06.09.2011, 15:03

Cel

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So, wie schreiben wir das jetzt auf?

$\begin{eqnarray*} R_n(x,0) = \frac{f^{(n+1)}}{(n+1)!} \leq \frac{n+2}{(n+1)!} e \end{eqnarray*}$ und das soll nun kleiner als 0,1 sein:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{(n+1)!}e \leq \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ .

So, und nun läuft es bei mir doch irgendwie auf deinen ersten Lösungsvorschlag hinaus ... Probiere n= 1, 2, 3 ... aus, bis es passt. Und sag mir, was du raus hast, damit wir vergleichen können. Big Laugh

06.09.2011, 15:08

nils mathe lk hems

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n=5 ?

bei 4 liegt es bei 0,13 und bei 5 dann zwar schon bei 0,02 aber halt erstmals unter der 0,1...

06.09.2011, 15:10

Cel

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Jawohl, das habe ich dann auch heraus. Freude

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