Definition Hyperebene

06.09.2011, 17:41

martha.1981

Definition Hyperebene

Hallo,

habe hier folgende Definition einer Hyperebene: $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ Körper

$\begin{eqnarray*} H:=\{(x_1,\hdots ,x_n)\in K^n : \sum_{i=1}^n a_i x_i = 0 \} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} a_1,\hdots ,a_n\in K \end{eqnarray*}$ und es ein $\begin{eqnarray*} i_0\in \{1,\hdots ,n\} \text{ mit } a_{i_0}\in K \end{eqnarray*}$ gibt.

Okay, sind die $\begin{eqnarray*} a_1,\hdots ,a_n\in K \end{eqnarray*}$ jetzt fest gewählt? Oder wie ist das gemeint.

Wenn sie fest gewählt sind, macht das für mich keinen Sinn, denn z.B. im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ hätte ich dann einen Vektor a gegeben und da $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_i x_i = 0 \end{eqnarray*}$ nichts anderes ist, als das kanonische Skalarprodukt wäre H dann die Menge aller Vektoren x, die Senkrecht auf a stehen. Das wäre aber doch keine Ebene,

denn zu (1,0,0) ist (0,1,0) sowie (0,0,1) senkrecht.

Was verstehe ich denn da nicht?

m

06.09.2011, 17:54

Grouser

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Aber natürlich erhälst du dann eine Ebene. Du hast ja den Span bereits angegeben. Also ja, die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ sind fest fixiert.

06.09.2011, 19:11

martha.1981

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Angenommen a=(0,0,1)

Dann liegen insbesondere a selbst, b=(1,0,0) und c=(0,1,0) in H. Gut, dann ist aber auch d=(-1,0,0) senkrecht zu a=(0,0,1) also in H. d liegt aber nicht in der von Ebene a,b,c - oder bin ich jetzt völlig wirsch?

m

06.09.2011, 19:16

tmo

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Zwei lin. unabhängige Vektoren spannen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ eine Ebene (durch den Ursprung) auf. Das sollte doch aus der Schule bekannt sein.

In deinem Fall ist es die Ebene in der alle Vektoren der Form $\begin{eqnarray*} (x,y,0) \end{eqnarray*}$ liegen, das ist bekanntlich die xy-Ebene.

Und ja du hast richtig erkannt: Ist $\begin{eqnarray*} 0 \neq a \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ fest gewählt, so ist die Hyperebene einfach nur durch $\begin{eqnarray*} H = \langle a \rangle^\perp \end{eqnarray*}$ gegeben. Dies ist bekanntlich ein (n-1)-dimensionaler Unterraum.

08.09.2011, 12:41

martha.1981

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das hab ich alles verdrengt. das verwirrt mich. vektoren sind pfeile und so. sind es jetzt punkte oder pfeile? naja,

jedenfalls verstehe ich das jetzt. Die Hyperebene ist dann die Menge alle zu diesem Punkt senkrechten vektoren und spannen deshalb die z.B. vektore senkrechte ebene auf, die durch den nullpunkt geht.

dabei ist die hyperebene zu (1,0,0) die selbe wie zu (2,0,0) etc., nämlich der durch (0,1,0) und (0,0,1) aufgespannte raum.

danke

08.09.2011, 18:39

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von martha.1981
das hab ich alles verdrengt. das verwirrt mich. vektoren sind pfeile und so. sind es jetzt punkte oder pfeile? naja,

Von dieser Ansicht, dass Vektoren "Pfeile" o.ä. sind, würde ich ganz schnell wegkommen.

Betrachte doch den Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]_{\leq 2} \end{eqnarray*}$ , dem Raum der Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ 2, dann ist eine mögliche Basis davon $\begin{eqnarray*} (X,1+X,1+X^2) \end{eqnarray*}$ .

Diese Vektoren sich als Pfeile vorzustellen, wird schwierig.

Ibn Batuta

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