Rang einer Matrix

06.09.2011, 20:26

Kaschmujatsi

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Rang einer Matrix

Meine Frage:
Also in meinem Mathematikbuch (Lineare Algebra im Berufskolleg - Berufliches Gymnasium, Jahrgangsstufe 13 - Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung[Merkur Verlag, 2010]) wird der Rang der Matrix als Anzahl der Nicht-Nullzeilen nach einer vollständigen Umformung in Richtung einer Dreiecksform definiert.
Nun kann ich nicht wirklich verstehen, wie man den Rang einer Matrix bestimmt, bzw. was das genau ist.
Was soll denn eine Nicht-Nullzeile sein?

Meine Ideen:
In einer Aufgabe soll die ich die Lösbarkeit des LGS $\begin{eqnarray*} (A|\vec{b} ) \end{eqnarray*}$ mithilfe des Ranges bestimmen.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 & |7 \\ 0 & 1 & 1 & | 1 \\ 0 & 3 & 2 &|4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Wahrscheinlich die Matrix nach dem Gauß-Verfahren umformen.

Da kommt bei mir als Lösungsvektor raus:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber was nun mit dem Rang??

06.09.2011, 20:28

Cel

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Wie sieht denn die Matrix nach der Umformung aus? Eine Nullzeile ist eine Zeile, die nur aus Nullen besteht. Eine Nicht-Nullzeile ist eine Zeile, die keine Nullzeile ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2011, 20:30

Kaschmujatsi

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Ah ach so .. irgendwie logisch xD

Und was soll nun der Rang sein?

-------------------------

edit:

Habs vielleicht verstanden ...
Öhm also bei meiner Beispielmatrix wäre der Rang 3, weil keine Zeile null ist?

06.09.2011, 20:48

Cel

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Der Rang ist 3, vollkommen richtig. Das sehen wir übrigens auch dadurch, dass du eine eindeutige Lösung heraus hast. Aber vielleicht kommt das später. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2011, 20:56

Kaschmujatsi

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Wie ist das bei dieser Matrix?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & -2 & 6 & |2 \\ 4 & -2 & 1 & |-3 \\ -2 & 1 & 5 & |3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Komme nach Gauß-Verfahren auf diese Form:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & |0 \\ 0 & 0 & 1 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & |1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist hier auch Rg(A|\vec {b})=3 ?

Weil 0=1 ist für mich eig unsinnig...

06.09.2011, 20:59

Cel

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Das habe ich oben gar nicht geschrieben: Bei dem LGS kommt es auf den Rang der Matrix A an, ohne das b. Wenn es um die Lösbarkeit geht, lasse die rechte Seite b weg. Wie ist das dann mit dem Rang?

Edit: Genauer gesagt brauchen wir beide Ränge. Also die der Matrix mit b und ohne b. Schau mal hier.

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06.09.2011, 21:05

Kaschmujatsi

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Ich soll bei der Lösung der Aufgabe aber b mit einbeziehen.

wenn man das weglassen würde, hatte die Matrix den Rang 2 ?

edit:
also wie in deinem Link erklärt:
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, falls
Rg(A)=Rg(A,b) < n

06.09.2011, 21:06

Cel

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Schau mal mein Edit an. Und: Genau, ohne das b ist der Rang 2. Und mit? Es geht dabei nicht um die dahinterstehende Gleichung, sondern einfach nur um die Matrix selbst.

06.09.2011, 21:11

Kaschmujatsi

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Rg(A,b)=3
und Rg(A)=2

Also ist mein edit ja schon wieder falsch durchdacht ^^
Das Gleichungssystem ist inkonsistent, falls rg(A) < rg(A,b)

... also hat dieses lgs keine Lösung?

06.09.2011, 21:12

Cel

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Genau, jetzt stimmt es. Das LGS hat keine Lösung. smile

smile

06.09.2011, 21:19

Kaschmujatsi

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Hmm glaube, jetzt hab ich es verstanden ...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 8 & -12 & |16 \\ 3 & 6 & -8 & |14 \\ -2 & -4 & 3 & |-14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei diesem kommt mit und ohne b der Rang 2 raus.
Bedeutet: genau eine Lösung?

----------------------------------------------------------

Wie funktioniert das eigentlich, wenn ich eine Matrix habe, die mehr Variablen als Gleichungen hat? (ohne b)

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4\\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4\\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

06.09.2011, 21:36

Cel

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Die Ränge sind 2, genau. Aber das heißt nicht, dass die Lösung eindeutig ist. Guck noch mal in den Link. Das n ist die Anzahl der Unbekannten. In dem Fall 3. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und wenn man mehr Variablen als Gleichungen hat, geht es genau so. Nur, dass du noch eine Spalte aus Nullen hinten dran packen musst. Das bedeutet nämlich diese Schreibweise.

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4\\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4\\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{array}{cccc|c} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & 0 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & 0 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & 0 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

06.09.2011, 22:25

Kaschmujatsi

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Okay .. das versteh ich nun nicht mehr ... ich glaub ich lass die theorie sein und lass meinen cas-fähigen taschenrechner "denken" Big Laugh

Big Laugh

07.09.2011, 11:42

Cel

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Das ist schlecht. unglücklich

unglücklich

Verstehe es lieber. Wo liegt denn das Problem? Wenn man in der Matrixschreibweise das b rechts weglässt, dann heißt das, dass alle Gleichungen gleich 0 sein sollen. Kleines Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} x + 2y &=& 0 \\ 2x + y &=& 0\end{array} \end{eqnarray*}$

Dies ist ein LGS mit 2 Unbekannten, n=2, um die Notation des Links zu nutzen. So, es gilt also $\begin{eqnarray*} b = \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Die Matrixschreibweise, die wir hier schon genutzt haben, lautet

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{cc|c}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Man hat vereinbart, dass man die Nullen weglässt, um Schreibarbeit zu sparen. Man schreibt statt der oberen Matrix dann.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es bedeutet aber das gleiche!

So, was ist mit der Lösbarkeit der Matrix? Es gilt $\begin{eqnarray*} \mathrm{rang}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1\end{pmatrix} = \mathrm{rang}\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} = 2 = \text{Anzahl der Unbekannten.} \end{eqnarray*}$

Deswegen ist dieses LGS eindeutig lösbar.

11.09.2011, 18:06

Tarsuinn

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Mal eine grundlegende Frage zu dem Rang einer Matrix, wenn eine quadratische Matrix injektiv ist, also vollen Spaltenrang hat, hat sie dann auch vollen Zeilenrang und ist somit auch Surjektiv, oder muss das nicht sein?

11.09.2011, 18:19

Cel

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Für eine Matrix gilt immer Zeilenrang = Spaltenrang, deswegen muss eine solche Matrix sofort eine bijektive Abbildung induzieren.

11.09.2011, 18:56

Tarsuinn

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Zitat:

Original von Cel
Für eine Matrix gilt immer Zeilenrang = Spaltenrang, deswegen muss eine solche Matrix sofort eine bijektive Abbildung induzieren.

Sehr schön, genau das wollte ich hören!

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