Prinzip der quadratischen ergänzung

06.09.2011, 21:16

Magnus87

Prinzip der quadratischen ergänzung

hi

ist die quadratische ergänzung sowas wie eine abwandlung von den binomischen formeln??

wieso funktioniert das auf diesem wege denn überhaupt so gut? und warum wird dadurch das ergebnis nicht verändert, obwohl sich ja die erscheinungsform der ganzen gleichung dann vorallem nach ausklammer etc ändert??

habt ihr da eventuell ein beispiel zu?? sorry ich hab mitlerweile schon ein schlechtes gewissen aber ich lese das nach aber verstehe es nicht... unglücklich

06.09.2011, 21:20

sulo

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RE: Prinzip der quadratischen ergänzung
Es wäre gut, wenn du eine Beispielaufgabe hättest. Dann könnte man genau sehen, bei welchen Schritten du eine Frage hast und die Erklärung konkret formulieren.

Zur ersten Frage: die quadratische Ergänzung arbeitet mit den binomischen Formeln, man nutzt sie zur Umwandlung der Funktionsgleichung.

smile

07.09.2011, 16:07

Magnus87

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RE: Prinzip der quadratischen ergänzung
$\begin{eqnarray*} \! f(x) \ = -4(x + 1/2)^2 + 1/2 \end{eqnarray*}$

07.09.2011, 18:16

sulo

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RE: Prinzip der quadratischen ergänzung
Hmm, da ist die quadratische Ergänzung ja schon gemacht worden und die Scheitelpunktform liegt vor. Wir können das natürlich auch zurückrechnen, das ist einfacher als der Weg hin und daher leichter verständlich.

Aber die quadratische Ergänzung verwendet man eigentlich, um Funktionsgleichungen der Form f(x) = ax² + bx + c in die Scheitelpunktform zu überführen.

smile

07.09.2011, 18:27

Pascal95

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Einen ähnlichen Thread gibt es auch schon hier von dir:
Quadratische ergänzung

Leider konntest du mir nicht sagen, was du mit der quadratischen Ergänzungen anfangen wolltest.
Man benutzt sie, wie sulo ja gesagt hat, um den Scheitelpunkt einer Parabel zu bestimmen oder aber auch um Nullstellen von quadratischen Funktionen zu bestimmen. (die p-q-Formel basiert darauf)

07.09.2011, 18:31

sulo

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Zitat:

Original von Pascal95
Einen ähnlichen Thread gibt es auch schon hier von dir:

Die beiden Fragesteller sind nicht identisch, Magnus87 ist nicht Matheniete². Augenzwinkern

07.09.2011, 19:09

Magnus87

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ah und der scheitelpunkt ist da dann direkt abzulesen in den klammern??

das ist ja unglaublich wie kann das möglich sein smile

, normalerweise werden doch zunächst noch andere operationen durchgeführt werden (zum quadrat nehmen etc...) aber hier kann man das dann einfach so aus den klammer ablesen??
(oder hab ich jz falsch recherchiert??)

also quadratische ergänzung für die scheitelpunktform und pq-formel für die nullstellen??

mfg

07.09.2011, 19:17

Marco1802

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RE: Prinzip der quadratischen ergänzung
Bei der quadratischen Ergänzung kannst du durch das Hinzufügen einer intelligenten Null eine quadratische Funktion von der Form

$\begin{eqnarray*} y = x^2 + px +q \end{eqnarray*}$

in die Scheitelpunktform umwandeln, um den Graphen leichter zu zeichnen und die Lage des Scheitelpunktes zu bestimmen.
Die Scheitelpunktform sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} y = (x + p)^2 +q \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y = (x - p)^2 +q \end{eqnarray*}$

Deine Funktion $\begin{eqnarray*} f (x) = -4(x+1/2)^2 +1/2 \end{eqnarray*}$ befindet sich sozusagen schon in der Scheitelpunktform. Daraus lässt sich schließen, dass die quadratische Ergänzung schon angewendet wurde. Ausmultipliziert würde diese dann heißen:

$\begin{eqnarray*} f (x) = - 4x^2 - 4x - 1/2 \end{eqnarray*}$

Nun kann die sogenannte Intelligente Null hinzugefügt werden. Du musste also etwas hinzufügen, um deine Gleichung in die Scheitelpunktform zu bekommen. Du siehst ja in der Scheitelpunktform hast du eine Binomische Formel ( die 1.)

$\begin{eqnarray*} f (x) = - 4x^2 - 4x - 1/2 \end{eqnarray*}$

was muss hinzugefügt werden, um eine Binomische Formel zu haben?

$\begin{eqnarray*} f (x) = - 4x^2 - 4x - 1/2 \end{eqnarray*}$ also als erstes -4 ausklammern

$\begin{eqnarray*} f (x) = - 4(x^2 + x + 1/8) \end{eqnarray*}$ und dann kommt jetzt das Entscheidende: die intelligente oder auch aktive Null genannt. Um ein, ich sag mal Gleichgewicht zu halten, kannst du auf einer Seite etwas addieren, wenn du gleichzeitig auch den selben Betrag auf dieser Seite subtrahierst.

$\begin{eqnarray*} f (x) = - 4(x^2 + x + 1/8 + (1/2)^2 - (1/2)^2 \end{eqnarray*}$ Siehst du es? nun kannst du eine Binomische Formel herleiten.

$\begin{eqnarray*} f (x) = - 4((x + 1/2)^2 + 1/8 - (1/2)^2) \end{eqnarray*}$ Jetzt musst du nur noch den letzten Schritt vornehmen und das, was du für die Binomische Formel nicht brauchst wieder zusammenfassen und ausmultiplizieren mit der - 4

$\begin{eqnarray*} f (x) = - 4((x + 1/2)^2 - 1/8) \end{eqnarray*}$ zusammengefasst

$\begin{eqnarray*} f (x) = - 4(x + 1/2)^2 + 1/2 \end{eqnarray*}$ ausmultipliziert

Jetzt hast du also deine Scheitelpunktform mittels der quadratischen Ergänzung geschaffen. Es ist am Anfang etwas verwirrend. Dazu braucht es etwas Übung um dies dann schnell zu machen. Ich hoffe ich konnte dir etwas weiterhelfen.

07.09.2011, 19:20

sulo

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Zitat:

Original von Magnus87
ah und der scheitelpunkt ist da dann direkt abzulesen in den klammern??

das ist ja unglaublich wie kann das möglich sein smile

Könnte man so sagen. Freude

Bei der pq-Formel kann man aber auch ganz allgemein sagen, dass sie zur Berechnung der beiden x-Werte einer quadratischen Gleichung genutzt wird.
Dies kann die Bestimmung der Nullstellen einer quadratischen Funktion sein, das kann aber beispielsweise auch die Auflösung einer Textaufgabe sein (Zahlenrätsel, geometrische Rätsel usw.).

Wie lautet denn der Scheitelpunkt der von dir aufgschriebenen Funktion?

smile

07.09.2011, 20:46

Magnus87

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danke an euch soweit für die ausführliche antwort.... smile

also der scheitelpunkt müsste dann doch die punkte
-2 und + 1/2 haben oder??

korrekt?
was ist denn was?

07.09.2011, 20:52

Pascal95

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Der Scheitelpunkt (des Graphens) der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nicht etwa bei (-2, +1/2), sondern du musst ihn ablesen:

$\begin{eqnarray*} f (x) = - 4(x + 1/2)^2 + 1/2 \end{eqnarray*}$

allgemein:

$\begin{eqnarray*} q(x)=a(x-u)^2+v \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} S(u|v) \end{eqnarray*}$ der Scheitelpunkt.

07.09.2011, 20:57

Magnus87

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also u = -1/2
und v = +1/2

v ist wie y oder? also die abhängige variable??

07.09.2011, 21:22

sulo

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Zitat:

Original von Magnus87
also u = -1/2
und v = +1/2

Ist richtig. Freude

Und wo liegt nun denn der Scheitelpunkt?

Zitat:

Original von Magnus87
v ist wie y oder? also die abhängige variable??

Sagen wir so: u ist die x-Koordinate und v ist die y-Koordinate.

Meist wird übrigens statt u und v mit d und e gearbeitet, um den Zusammenhang zu verdeutlichen:

$\begin{eqnarray*} y = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$ Normalform der Funktionsgleichung

$\begin{eqnarray*} y =a (x - d)^2 + e \end{eqnarray*}$ Scheitelpunktform mit dem Scheitelpunkt S(d|e)

smile

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