Integralrechnung

07.09.2011, 00:10

Delta500

Integralrechnung

Hallo,

wie kann man diese Aufgabe lösen ?

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{(x+2)^2}{(x-10)^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

x+2 oder x-10 substituieren aber das bringt nicht viel, weil ein x übrig bleibt.

07.09.2011, 00:58

allahahbarpingok

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Servus,

einmal abdividieren per Polynomdivision, damit Zählergrad < Nennergrad und dann eine Partialbruchzerlegung.

07.09.2011, 16:17

Helferlein

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RE: Integralrechnung
Oder ausnutzen, dass

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{(x+2)^2}{(x-10)^2} \, dx = \int~ \left( 1+\frac {12}{x-10} \right) ^2 \, dx \end{eqnarray*}$

07.09.2011, 16:32

riwe

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RE: Integralrechnung
oder einfach

$\begin{eqnarray*} u = x-10\to I =\int \! (1+\frac{24}{u}+\frac{144}{u^2} )\, du \end{eqnarray*}$

07.09.2011, 17:33

Delta500

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Danke für die vielen Ansätze.

Mit dem Ansatz von riwe habe ich es geschafft smile

Möchte nun noch versuchen mit dem Ansatz von allahahbarpingok zum Ergebnis zu kommen um die Partialbruchzerlegung zu lernen (die ich noch nicht kann).

$\begin{eqnarray*} (x^2+4x+4)/(x^2-20x+100)=1+ \frac{24x-96}{x^2-20x+100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! (1+\frac{24x-96}{x^2-20x+100}) \, dx \end{eqnarray*}$

Dopellte Nullstelle bei 10.

Jetzt muss ich erstmal nachlesen wie es weiter geht.

Irgendwie so habe noch keine Ahnung wie das geht^^

$\begin{eqnarray*} \frac{24x-96}{x^2-20x+100}= \frac{A}{x-10}+ \frac{B}{x-10} \end{eqnarray*}$

07.09.2011, 19:27

Delta500

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Partialbruchzerlegung

$\begin{eqnarray*} (x^2+4x+4)/(x^2-20x+100)=1+ \frac{24x-96}{x^2-20x+100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! (1+\frac{24x-96}{x^2-20x+100}) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-20x+100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{12}=10 plus minus 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{12}=10 \end{eqnarray*}$

Dopellte Nullstelle bei 10.

$\begin{eqnarray*} \frac{24x-96}{x^2-20x+100}= \frac{24x-96}{(x-10)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{24x-96}{(x-10)^2}=\frac{A}{x-10}+\frac{B}{(x-10)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{24x-96}{(x-10)^2}=\frac{A(x-10)+B}{(x-10)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 24x-96=A(x-10)+B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=10 \Rightarrow 24*10-96=A(10-10)+B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=10 \Rightarrow 144=A(0)+B \Rightarrow B=144 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit ?

07.09.2011, 21:50

Delta500

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Die Partialbruchzerlegung könnte dann vielleicht so aussehn.

$\begin{eqnarray*} \frac{10}{(x-10)^2} \end{eqnarray*}$

Kann mir niemand sagen ob ich richtig gerechnet habe ?

08.09.2011, 00:03

Delta500

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Irgendetwas stimmt bei meiner Rechnung nicht, beim lösen mit der Substitution habe ich ein völlig anderes Ergebnis als bei der Lösung mit der Partialbruchzerlegung.

Ich finde meinen Fehler nicht. Sieht seit Stunden alles gleich aus unglücklich

Wär nett wenn mir jemand helfen könnte ist doch keine unlösbare Aufgabe (hoffe ich jedenfalls) ^^, falls es an zu wenig Rechnungen mangelt sagt es einfach dann versuch ich die noch zu ergänzen.

08.09.2011, 00:54

allahahbarpingok

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$\begin{eqnarray*} \frac{24x-96}{(x-10)^2}=\frac{A}{x-10}+\frac{B}{(x-10)^2} \end{eqnarray*}$

Bis hierhin stimmt alles. Jetzt empfehle ich per Koeffizientenvergleich A und B zu bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \frac{(24x-96)\cdot (x-10)^2}{(x-10)^2} = \frac{A\cdot (x-10)^2}{x-10} + \frac{B\cdot (x-10)^2}{(x-10)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 24x-96= A\cdot (x-10) + B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 24x-96 = A\cdot x - 10\cdot A+B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 24 = A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -96 = -10\cdot A+B \end{eqnarray*}$

Den Rest kriegst du hin.

08.09.2011, 03:07

Delta500

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$\begin{eqnarray*} = 24x-96 = A\cdot x - 10\cdot A+B \end{eqnarray*}$

Bis hier versteh ich noch was du gemacht hast.

Aber wie du auf $\begin{eqnarray*} A=24 \end{eqnarray*}$ kommst versteh ich nicht.

08.09.2011, 14:07

Delta500

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Achso ja klar wegen dem Koeffizientenvergleich Hammer

$\begin{eqnarray*} A=24 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 24x-96= A\cdot (x-10) + B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 24x-96 = A\cdot x - 10\cdot A+B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 24 = A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -96 = -10\cdot A+B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -96=-10*24+B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -96=-240+B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B= 144 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{24x-96}{(x-10)^2}=\frac{24}{x-10}+ \frac{144}{(x-10)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int \! (1+\frac{24}{x-10} +144*(x-10)^{-2} ) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =x+ 24ln|x-10| +144*(x-10)^{-1} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =x+ 24ln|x-10| +\frac{144}{x-10} \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste nur noch $\begin{eqnarray*} -\frac{144}{(x-10)^2} \end{eqnarray*}$ dort stehn und nicht + verwirrt

08.09.2011, 14:14

allahahbarpingok

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Du hast beim letzten Summanden einen Vorhzeichenfehler beim integrieren.

08.09.2011, 17:14

Delta500

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Zitat:

Original von allahahbarpingok
Du hast beim letzten Summanden einen Vorhzeichenfehler beim integrieren.

Aus der anderen Lösung weiß ich das am Ende ein plus stehn muss. Aber wo genau ist mein Fehler bekomm da immer plus raus ?

Habe auch leider kein Programm gefunden das mir Schritt für Schritt zeigt wie man das löst (zeigen alle nur das Endergebnis an was mir nichts bringt).

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