Peinlich.. Q dicht in R

22.12.2006, 12:34

SilverBullet

Peinlich.. Q dicht in R

Hallo, nach nun erst mal keine Vorlesungen mehr sind hab ich mich dran gesetzt und arbeite alles nach.

Hab hier allerdings gleich am Anfang (naja fast) ein kleines Problem mit folgendem Beweis :

Satz :
$\begin{eqnarray*} \text{ Ist }x \in \mathbb R \text{ und }\epsilon > 0, \epsilon \in R \text{ , so existiert ein } a \in Q \text{ mit } \mid x - a \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ ("Q liegt dicht in R")

Beweis :
Es existiert ein $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb N, q \geq 1 \text{ und } \frac 1 q < \epsilon \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} p = [qx] \end{eqnarray*}$ (größte Ganze) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} p \leq qx < p+1 \text { also} \frac pq \leq x < \frac p q + \frac 1 q. \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} a = \frac p q \end{eqnarray*}$ gilt also :
$\begin{eqnarray*} 0 \leq x x -a <\frac 1 q < \epsilon \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \mid x - a \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Nun ich verstehe den Beweis nicht richtig. Wäre super wenn mir dabei jmd helfen könnte. Ich kann ja einfach mal ausformulieren :

Ein Element aus Q besteht aus p\q:
Ich finde also ein so großes q, sodass 1/q kleiner als jede Epsilon-Schranke wird.

Hier hab ich mein erstes Problem wie ist p definiert ? Was soll das oben bedeuten ? Kann mir da jmd nen Beispiel geben ?
Der Rest wird sich dann klären denke ich Big Laugh

mfg
Silver

22.12.2006, 12:43

tigerbine

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RE: Peinlich.. Q dicht in R
Könnte damit vielleicht die Gauß-Klammer gemeint sein?

http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fklammer

22.12.2006, 12:55

klarsoweit

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RE: Peinlich.. Q dicht in R

Zitat:

Original von SilverBullet
Für $\begin{eqnarray*} p = [qx] \end{eqnarray*}$ (größte Ganze)

Das bedeutet: p ist die größte ganze Zahl, die <= qx ist.

Zitat:

Original von SilverBullet
Für $\begin{eqnarray*} a = \frac p q \end{eqnarray*}$ gilt also :
$\begin{eqnarray*} 0 \leq x x -a <\frac 1 q < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq x -a <\frac 1 q < \epsilon \end{eqnarray*}$
Ein x reicht, oder?

22.12.2006, 13:12

SilverBullet

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Argh wollte grad ne weitere Frage ausformulieren aber ich glaub ich habe es nun verstanden Big Laugh

Danke euch beiden !

Also ein Beispiel wäre doch :

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon = 0,11, x = 1,23 \end{eqnarray*}$

Ich finde also ein q, sodass $\begin{eqnarray*} \frac 1 q < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist :

$\begin{eqnarray*} \frac 1 10 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Mein p ist ja nun definiert als p = [xq]

Somit ergibt sich für $\begin{eqnarray*} \frac pq = \frac {[xq]} {q} = \frac {[1,23 * 10} {10} = \frac {12} {10} = 1,2. \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} \mid 1,23 - 1,20 \mid = 0,03 \end{eqnarray*}$ ist und 0,03 < 0,11 (epsilon) ist wäre das hier doch ein Beispiel

Edit :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq x -a <\frac 1 q < \epsilon \end{eqnarray*}$
Ein x reicht, oder?

Ja hoffe ich doch Big Laugh

Hatte es so von der Tafel abgeschrieben. Müsste aber sicherlich falsch sein !

22.12.2006, 14:21

klarsoweit

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Da Beispiel ist soweit ok, wobei 1,23 ja selbst auch schon rational ist. Augenzwinkern

23.12.2006, 00:32

SilverBullet

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aber das dürfte doch kein Problem sein denn $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

23.12.2006, 14:33

therisen

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Ja, natürlich geht das, aber das ist nicht weiter verwunderlich Augenzwinkern

"Interessant" ist das ganze nur für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R\setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

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Peinlich.. Q dicht in R

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