Basis Polynom

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Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Polynom
Hallo,

könnte mir jemand sagen ob die Basis richtig ist?

Aufgabe:

Polynom vom Grade
mit der Bedingung: Wendetangente bei x=1

Hab dort als Basis raus:



Kann das stimmen?

Gruß
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Mit ist .

Desweiteren ist dieser Raum wohl eher 3-dimensional, also solltest du 3 Basisvektoren finden.
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann führ ich das ganze mal aus, eventuell fällt ja mein Fehler auf:

Mein erster Gedanke war das durch die zwei Nullstellen des Polynom zwei Freiehitsgrade verliert und somit vom Rang 2 ist und die Basis somit nur zwei Elemente beinhaltet.

Zuerst habe ich gemäß Bedingung die erste und zweite Ableitung des Standardpolynoms 3.Grades gebildet:





Dannach habe ich x=1 gesetzt




Hier bin ich mir nicht sicher wie ich das jetzt umformen muss, ein Kollege meinte das es mit folgendem Weg geht. Beide Gleichungen addieren, subtrahieren und umstellen und dann wieder in das Standardpolynom einsetzten und Basis ablesen.







Das ermittelte a1 in die zweite Gleichung einsetzten




Dann a1 und a2 in das Standardpolynom einsetzten:




So kam ich auf die Basis, wo liegt mein Fehler?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tarsuinn


Wieso statt ?

Ich würde übrigens einfach von



ausgehen und zweimal integrieren, und zwar mit als "Integrationsvariable". Der erste Schritt wäre also



Jetzt noch einmal, dann kann man am Ergebnis alles ablesen.
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Zitat:
Original von Tarsuinn


Wieso statt ?

Ich würde übrigens einfach von



ausgehen und zweimal integrieren, und zwar mit als "Integrationsvariable". Der erste Schritt wäre also



Jetzt noch einmal, dann kann man am Ergebnis alles ablesen.


Leider verstehe ich nicht worauf du hinaus willst, wir sollen das per einsetzten lösen, das muss doch auch anders gehen außer zu integrieren?
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Keine eine Idee wie es über umformen und einsetzten möglich ist?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man ein Polynom höchstens dritten Grades zweimal differenziert, so bekommt man ein Polynom höchstens ersten Grades, also kann man den Ansatz



mit machen, denn bei soll ja eine Wendestelle sein, d.h. es muß gelten.

Und wenn man kennt, kann man doch auch bestimmen. Dazu muß man nur zweimal unbestimmt integrieren:





Die Skalare sind frei wählbar. Und eine Basis kann man ablesen. Es sind dies die Polynome mit



Fertig. (Statt könnte man natürlich genau so gut nehmen.)
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

@Tarsuinn:

Wenn Dir der Weg von Leopold nicht gefällt, kannst Du natürlich auch einsetzten und umformen, wie Du es angedacht hast.
Allerdings hat die erste Ableitung dabei nichts zu suchen, denn es ist ja nur gefordert, dass bei x=1 eine Wendestelle liegen soll.
Das bedeutet aber nur

Durch Einsetzen erhältst Du
Nun formst Du die erste Gleichung nach oder um und setzt diese Bedingung in die Ausgangsfunktion ein.
Problem dabei: Wegen gehört die Nullfunktion gar nicht zur Menge und somit hast Du überhaupt keinen Unterraum.
Die Formulierung müsste also korrekter Weise lauten: Bilde eine Basis von
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Viel Dank Helferlein, sowas habe ich gesucht. Meinen Fehler habe ich jetzt auch erkannt Augenzwinkern Noch eine Frage, wenn man jetzt mehr als eine Bedingung hat, z.b. hier:



stellt man dort für beide Bedingungen eine Gleichung auf, also

Standardpolynom






Und kombinierte beide zu:





und kann das dann wieder einsetzten:



Und dann die Basis emitteln durch umstellen und ablesen?





?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Fast richtig. Du hast am Ende nur vergessen, dass

Die richtige Lösungsdarstellung ist also

und somit eine mögliche Basis

Als Probe schauen wir uns noch einmal die Dimension an:
Wir haben zwei (lin. unabh.) Bedingungen in einem vierdimensionalen Raum
Der Lösungsraum ist zweidimensional. Passt!
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Cool danke hast mir sehr geholfen Augenzwinkern
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Hätte nochmal eine Frage zu den Bedingungen, wenn die Bedingung wäre das
p(x) besitzt Tangente im Nullpunkt mit Steigung 1 ist, dann wäre es doch f`(0)=1, da die Koordinaten des Nullpunktes (0,0) sind richtig?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

p'(0)=1 stimmt, aber wo hast Du den Nullpunkt verarbeitet?

EDIT: Und wir hätten dann wieder keinen Verktorraum vorliegen, da die 0-Funktion äußerst selten die Steigung 1 aufweist Augenzwinkern
Tarsuinn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
p'(0)=1 stimmt, aber wo hast Du den Nullpunkt verarbeitet?

EDIT: Und wir hätten dann wieder keinen Verktorraum vorliegen, da die 0-Funktion äußerst selten die Steigung 1 aufweist Augenzwinkern


Das stimmt wohl den f(0)=0 bei Vektorräumen, ich ging davon aus das man für x=0 einsetzt, dann müsste es wohl f`(x)=1 sein, wie würde man denn den Nullpunkt verarbeiten?
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