Trigonometrie - sin, cos, tan vereinfachen

07.09.2011, 12:37

Floyd

Trigonometrie - sin, cos, tan vereinfachen

Hallo liebe Mathefreunde,
ich habe ein Problem mit sin, cos, tan :-)

1a) Ich soll als erstes cos a und tan a durch sin a ausdrücken.

Meine Lösung für cos a:

sin²a + cos²a = 1 | - sin²a & Wurzel

-> cos a = Wurzel ( 1- sin² a)

Meine Lösung für tan a:

sin²a + cos²a = 1 mit tan a = sin a / cos a

-> sin² a + sin² a / tan² a = 1 | nach tan a auflösen

--> tan a = Wurzel ( sin² a -1 )

1b) Nun soll ich damit cos a und tan a für sin a = 2/3 berechnen:

-> cos a = Wurzel ( 1- (2/3)²) = 41,8 °

-> tan a = Wurzel ( (2/3)² - 1 ) = ....... hier habe ich nix raus, weil ein negativer Wert unter der Wurzel - habe ich tan a falsch umgeformt?

2) Ich soll folgende zwei Terme vereinfachen:

a) Wurzel( 1+ cos a) * Wurzel (1- cos a)

-> irgendwie sieht das nach der 3. binomischen Formel aus, habe aber keine Ahnung wie ich das in diese transformieren soll...

b) sin^4 a - cos^4 a

-> hier habe ich keine Idee.

Würd mich um ein paar Tipps feuen

07.09.2011, 13:11

René Gruber

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Für viele deiner Betrachtungen scheinst du eine bisher nicht genannte Zusatzannahme zu machen: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ liegt im 1.Quadranten.

Ansonsten folgt nämlich erstmal nur $\begin{eqnarray*} |\cos(a)| = \sqrt{1-\sin^2(a)} \end{eqnarray*}$ , was im 2.Quadranten etwa zu dem anderen Vorzeichen $\begin{eqnarray*} \cos(a) = -\sqrt{1-\sin^2(a)} \end{eqnarray*}$ führt, usw.

Zitat:

Original von Floyd
tan a = Wurzel ( sin² a -1 )

Falsch umgeformt, was du später dann auch gemerkt hast. Warum nutzt du bei der Darstellung nicht das schon vorhandene Teilergebnis zu cos(a) ?

07.09.2011, 13:13

Leopold

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RE: Trigonometrie - sin, cos, tan vereinfachen
Bei 1a) kommt es auf den Quadranten von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (Einheitskreis) an, ob das positive oder negative Vorzeichen der Wurzel das richtige ist. Im allgemeinen kann man nur sagen:

$\begin{eqnarray*} \cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \end{eqnarray*}$ (nur 1 Vorzeichen ist korrekt)

Beispiel: $\begin{eqnarray*} \alpha = 150^{\circ} \end{eqnarray*}$ (II. Quadrant: Cosinus ist negativ)

$\begin{eqnarray*} \cos 150^{\circ} = - \sqrt{1 - \sin^2 150^{\circ}} = - \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Der Anfang der Tangensrechnung stimmt:

$\begin{eqnarray*} \sin^2 \alpha + \frac{\sin^2 \alpha}{\tan^2 \alpha} = 1 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung hast du dann allerdings falsch aufgelöst. Bruchrechnen!

08.09.2011, 12:37

Floyd

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Vielen Dank für die bisherigen Antworten.

Ich komme trotzdem bei der Umformung für tan a nicht weiter...

zu 1) Den Ansatz hatte ich ja:

$\begin{eqnarray*} \sin^2 \alpha + \frac{\sin^2 \alpha}{\tan^2 \alpha} = 1 |* \tan^2 \alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin^2 \alpha * \tan^2 \alpha + \sin^2 \alpha = \tan^2 \alpha | -\tan^2 \alpha; - \sin^2 \alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin^2 \alpha * \tan^2 \alpha - \tan^2 \alpha = -\sin^2 \alpha | *(-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\sin^2 \alpha * \tan^2 \alpha + \tan^2 \alpha = \sin^2 \alpha | tan^2 \alpha ausklammern \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan^2 \alpha (-\sin^2 \alpha +1) = \sin^2 \alpha |: (-\sin^2 \alpha +1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{-\sin^2 \alpha +1} \end{eqnarray*}$

-> Hier komme ich nicht weiter.... wie kann ich den Bruch vereinfachen? Dann muss ich nur noch die Wurzel ziehen und müsste doch fertig sein oder?

zu 2) Nun soll ich besipielsweise damit cos a und tan a für sin a = 2/3 berechnen:

-> cos a = Wurzel ( 1- (2/3)²) = 41,8 °

Ist das so richtig? Ich habe ja kein a in Grad gegeben, sondern als Dezimalzahl. Darf ich folglich die 2/3 einfach in die Gleichung einsetzen?

08.09.2011, 12:48

depp40

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Mach es über Definition

[latex]tan^2x=\frac{sin^2}{ cos^2x} dann kürzts sich weg und es entsteh der trigonometrische Pythgoras

08.09.2011, 12:49

Floyd

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$\begin{eqnarray*} tan^2x=\frac{sin^2}{ cos^2x} \end{eqnarray*}$

08.09.2011, 12:54

Floyd

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Das verstehe ich nicht. Hier kann ich zwar die Wurzel ziehen, aber da kürzt sich doch nix weg oder kann ich sinus oder cosinus durch etwas ersetzen? In meinen Aufzeichnungen stehen keine weiteren Bedingungen. Kenne nur die:

$\begin{eqnarray*} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \end{eqnarray*}$

und die:

$\begin{eqnarray*} tan^2x=\frac{sin^2}{ cos^2x} \end{eqnarray*}$

die habe ich ja versucht zusammen zu packen. Ist mein Ansatz etwa nicht richtig?

Leopold weiter oben hat geantwortet dass mein Ansatz richtig sei , aber falsch gelöst. Nun hatte ich es nochmal versucht

08.09.2011, 12:59

Floyd

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ode ist der Tangens einfach:

$\begin{eqnarray*} tan^2x=\frac{sin^2}{ \cos(a)} = \sqrt{1-\sin^2(a)} \end{eqnarray*}$

Edit (Gualtiero): "|" durch "}" ersetzt.

08.09.2011, 13:00

Floyd

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ode ist der Tangens einfach:

$\begin{eqnarray*} tan(a)=\frac{sin(a)}{ \sqrt{1-\sin^2(a)}} \end{eqnarray*}$

08.09.2011, 13:21

Floyd

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Ist das nun richtig für sin a = 2/3 ?

$\begin{eqnarray*} \cos a = \sqrt{1 - \sin^2 \frac{2}{3}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} \end{eqnarray*}$

Weiterhin soll ich folgende zwei Terme vereinfachen:

a) Wurzel( 1+ cos a) * Wurzel (1- cos a)

-> irgendwie sieht das nach der 3. binomischen Formel aus, habe aber keine Ahnung wie ich das in diese transformieren soll...

b) sin^4 a - cos^4 a

Vielen Dnak für eure Mühen

08.09.2011, 15:43

Gualtiero

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \cos a = \sqrt{1 - \sin^2 \frac{2}{3}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} \end{eqnarray*}$

Gerechnet hast Du dann richtig, aber im linken Wurzelausdruck ist ein Fehler - hoffentlich nur Tippfehler und kein Verständnisfehler.
Denn Du hast ja keine Sinusfunktion mehr, nach die Voraussetzung lautet: sin (a) = 2/3

Zu a): Ansatz mit 3. Binomischer Formel ist schon richtig. Rechne einfach weiter:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\cos \alpha} \cdot \sqrt{1-\cos \alpha}=\sqrt{(1+\cos \alpha) \cdot (1-\cos \alpha)}= . . . \end{eqnarray*}$

Zu b) kann ich nichts sagen. Soll das eine Gleichung sein oder soll der Term umgeformt werden?

Noch etwas Grundsätzliches: Bitte vermeide Mehrfachposts; die machen einen Thread nur unübersichtlich.

08.09.2011, 22:02

Floyd

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Vielen Dank, versuche nun die Tipps zu verarbeiten:

$\begin{eqnarray*} \cos a = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} \end{eqnarray*}$

Nun zu den Umformungen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\cos \alpha} \cdot \sqrt{1-\cos \alpha}=\sqrt{(1+\cos \alpha) \cdot (1-\cos \alpha)}=\sqrt{1^2 - \cos \alpha^2} = \sqrt{ \sin \alpha^2}= \sin \alpha \end{eqnarray*}$

Aber bei dem weiß ich immer noch nicht weiter: Der Term soll auch vereinfacht werden.....

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha * \cos^2 \alpha ( \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha ) = ..... \end{eqnarray*}$

gehts da noch weiter???

oder etwa so ???

$\begin{eqnarray*} \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) ( \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha ) = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \end{eqnarray*}$

08.09.2011, 22:28

Gualtiero

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Aufgabe a) ist richtig.

Bei b) soll also auch die 3. Binomische Formel angewendet werden.

Betrachte die beiden Klammerausdrücke und dann schau auf den wichtigen Lehrsatz, den Du oben schon angeführt hast:

Zitat:

sin²a + cos²a = 1

Kommst Du damit weiter?

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