fläche zwischen zwei kurven, bereichsintegral

07.09.2011, 14:01

moonsymmetry

fläche zwischen zwei kurven, bereichsintegral

hallo,

Berechnen sie die eingeschlossene Fläche zwischen den Kurven $\begin{eqnarray*} y = x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = \sqrt x \end{eqnarray*}$ des Bereichsintegrals:

$\begin{eqnarray*} \int \int_B (2+3x) dx dy \end{eqnarray*}$

wie geht man diese aufgabe an?

also 2 +3x ist doch eine gerade.

aber wo muss ich denn hier eine fläche ausrechnen?

07.09.2011, 14:50

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: fläche zwischen zwei kurven, bereichsintegral

Zitat:

Original von moonsymmetry
Berechnen sie die eingeschlossene Fläche zwischen den Kurven $\begin{eqnarray*} y = x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = \sqrt x \end{eqnarray*}$ des Bereichsintegrals:

$\begin{eqnarray*} \int \int_B (2+3x) dx dy \end{eqnarray*}$

Das ist keine sinnvolle Aufgabenstellung. Vielleicht muß es ja heißen

Berechnen Sie für die eingeschlossene Fläche ... das Bereichsintegral ...

07.09.2011, 16:12

moonsymmetry

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: fläche zwischen zwei kurven, bereichsintegral
Ich werde das nochmal nachprüfen was da genau gemeint sein könnte....

aber ja vielleicht hast du recht nur wie macht man das hier?

also die eingeschlossene fläche wäre der kleine flächeninhalt zwischen blauer und grüner kurve.

aber das bereichsintegral müsste dann ja eher irgendwas 3-dimensionales sein oder?
versteh das nicht.

07.09.2011, 17:51

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten definierst du dir eine Funktion

$\begin{eqnarray*} z = f(x,y) = 2+3x \end{eqnarray*}$

Der Graph dieser Funktion ist eine Fläche im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ . Hier ist es besonders einfach, du kennst das schon aus der Schule in der Form

$\begin{eqnarray*} E: \ -3x + z = 2 \end{eqnarray*}$

Das ist eine Ebene. Da $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nicht vorkommt, ist diese Ebene parallel zu $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse. (Du kannst dir in der $\begin{eqnarray*} xz \end{eqnarray*}$ -Ebene zunächst die Gerade $\begin{eqnarray*} z=3x+2 \end{eqnarray*}$ nehmen und verschiebst diese parallel zur $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse. So bekommst du eine Vorstellung von der Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ .)

Jetzt kommt der Bereich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ins Spiel. Er liegt in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene und wird von den zwei Parabelbögen begrenzt. Jetzt nimmst du einen Punkt des Bereichs $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und fährst mit dem Fahrstuhl nach oben, also in $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Richtung, bis du bei der Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ anstößt. Das machst du mit jedem Punkt von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Auf diese Weise erhältst du einen dreidimensionalen Körper. Und das Integral berechnet genau das Volumen dieses Körpers. Der Körper ist so eine Art Zylinder, die Grundfläche ist allerdings kein Kreis, sondern $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Und oben wird der Zylinder nicht gerade, sondern durch die Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ schräg abgeschnitten.

Die Berechnung des Integrals erfolgt mit dem Satz von Fubini. Erst integriert man über alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , über denen in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene Punkte von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ liegen (äußere Integration), dann integriert man in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ über alle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , so daß $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ ein Punkt von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist (innere Integration). Oder alles gerade umgekehrt.

Übrigens: Volumenstücke, die unterhalb der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene liegen, werden durch das Integral negativ gewertet. So können sich Volumenteile auch gegenseitig wegheben. Das Phänomen tritt in dieser Beispielaufgabe allerdings nicht auf, da die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nur positive Werte annimmt.

08.09.2011, 13:16

moonsymmetry

Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die erklärung.

Ok dann ist das größte Problem hier nur noch die Grenzen meiner Integrale festzustellen.

Ich gehe so vor:
Ich schau mir die zwei kurven in der xy ebene an.
ich integriere ja zerst über x. d.h. in der x richtung. wenn ich im flächenbereich nach links gehe wird dieser begrenzt durch $\begin{eqnarray*} y = \sqrt x \end{eqnarray*}$ das schreib ich nach y um... also $\begin{eqnarray*} x = y^2 \end{eqnarray*}$ ... wenn ich nach rechts gehe wird die Fläche durch $\begin{eqnarray*} y= x^2 \end{eqnarray*}$ begrenzt also $\begin{eqnarray*} x = \sqrt y \end{eqnarray*}$ ... ich habe also nun für mein innneres Integral die Grenzen: $\begin{eqnarray*} \int \int^{\sqrt y}_{y^2} (3x+2) \, dx \, dy \end{eqnarray*}$

stimmt das mal bis hier her oder ist das völliger quatsch?????

08.09.2011, 15:09

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst es umgekehrt, wie von mir vorgeschlagen, aber das geht, wie ich schon sagte, auch. Du integrierst außen über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und innen über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt so weit alles, jetzt fehlen noch die Grenzen für das äußere Integral. Fahre in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene mit dem Finger die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse auf und ab. Bei welchem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Intervall liegen links oder rechts Punkte von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Das ist das Intervall für die äußere Integration nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

Zu Zwecken der Übung kannst du ja einmal die Sache mit der anderen Integrationsreihenfolge durchziehen. In jedem Fall sollte sich $\begin{eqnarray*} \frac{67}{60} \end{eqnarray*}$ als Integralwert ergeben.

08.09.2011, 15:19

moonsymmetry

Auf diesen Beitrag antworten »

hm naja
wenn ich in der y-Achse nach oben und Unten fahre sind die grenzen ja einfach auch diese kurven.

würde also folgendes vorschlagen: $\begin{eqnarray*} \int^{\sqrt x}_{x^2} \int^{y^2}_{\sqrt y} (3x + 2) \, dx \, dy \end{eqnarray*}$ verwirrt

??? aber da komm ich ja niemals zu einem konkreten Integralwert.... ?

08.09.2011, 15:30

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich gerade bei $\begin{eqnarray*} y=-1234 \end{eqnarray*}$ bin, schaue ich nach links oder rechts. Da sehe ich nirgendwo einen Punkt von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Also gehört $\begin{eqnarray*} -1234 \end{eqnarray*}$ nicht zum gesuchten $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Intervall. Auch bei $\begin{eqnarray*} y=-0{,}0487 \end{eqnarray*}$ bin ich frustriert, weil ich meilenweit nach links oder rechts blicken kann, ohne daß mich ein Punkt von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ an der Sicht hinderte. Bei $\begin{eqnarray*} y=0{,}2091 \end{eqnarray*}$ dagegen finde ich rechts Punkte von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , nämlich alle zwischen $\begin{eqnarray*} x = y^2 = 0{,}2091^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{y} = \sqrt{0{,}2091} \end{eqnarray*}$ (da kommen ja auch die Integrationsgrenzen für das innere Integral her).
Für welche $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Werte findet man nun Punkte von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ? Das ist ein konkretes Intervall, da kommt keine Variable mehr darin vor.

08.09.2011, 15:42

moonsymmetry

Auf diesen Beitrag antworten »

0 bis 1 ?

08.09.2011, 15:44

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

08.09.2011, 16:04

moonsymmetry

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int^1_0 \int^{\sqrt y}_{y^2} \, (3x + 2) \, dx \, dy = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int^1_0 [\frac{3}{2} x^2 + 2x ]^{\sqrt y}_{y2} \, dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int^1_0 ( \frac{3y}{2} + 2 \sqrt y ) - (\frac{3y^4}{2} + 2y^2) \, dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int^1_0 \frac{3y}{2} + 2 \sqrt y - \frac{3y^4}{2} - 2y^2 \, dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [ \frac{3y^2}{4} + \frac{4y^{3/2}}{6} - \frac{3y^5}{10} - \frac{2y^3}{3} ]^1_0 = 0.45 - 0 = 0.45 \end{eqnarray*}$

komme aber leider auf ein falsches ergebnis

08.09.2011, 16:12

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Rechnerisch ist das beinahe richtig. Schau dir ganz zum Schluß den zweiten Summanden in den eckigen Klammern noch einmal an.

Allerdings hast du es formal falsch aufgeschrieben. Denn du beginnst ganz oben mit dem Doppelintegral, dann rechnest du auf einmal nur das innere Integral aus, was am Schluß plötzlich wieder im Doppelintegral erscheint. Du mußt die Hauprechnung deutlich von der Nebenrechnung trennen. Scheue dich nicht, deutsche Wörter zu gebrauchen, um deine Lösung zu struktieren. Und bitte ein Gleichheitszeichen setzen, wo etwas gleich ist, aber auf keinen Fall eins schreiben, wo keine Gleichheit vorliegt. Beide Fehler kommen bei dir vor.

Und noch etwas: Ist der Integrand eine Summe, so ist eine Klammer zu setzen, also so:

$\begin{eqnarray*} \int_{\ldots}^{\ldots} \left( \ldots + \ldots - \ldots \right)~\dd x \end{eqnarray*}$

08.09.2011, 16:40

moonsymmetry

Auf diesen Beitrag antworten »

huuups, da hat sich ein fehler eingeschlichen,
hab ihn trotz nachrechnen nicht bemerkt...
Also der besagte summand hat im Nenner eine 3 statt eine 6 Augenzwinkern

Danke dir für die tolle Hilfe. Ich werde das Ding nochmal in die andere Richtung probieren zu rechnen smile

zu den formalen fehlern...
Das innere Integral hab ich in der zweiten zeile einfach mal ausgerechnet und das äußere stehen gelassen. ist das nicht zulässig? oder was meinst du genau.

hier die rechnerisch richtige und hoffentlich formal richtigere lösung smile

:

$\begin{eqnarray*} \int^1_0 \int^{\sqrt y}_{y^2} \, (3x + 2) \, dx \, dy = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int^1_0 [\frac{3}{2} x^2 + 2x ]^{\sqrt y}_{y2} \, dy = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int^1_0 [( \frac{3y}{2} + 2 \sqrt y ) - (\frac{3y^4}{2} + 2y^2)] \, dy = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int^1_0 ( \frac{3y}{2} + 2 \sqrt y - \frac{3y^4}{2} - 2y^2 ) \, dy = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [ \frac{3y^2}{4} + \frac{4y^{3/2}}{3} - \frac{3y^5}{10} - \frac{2y^3}{3} ]^1_0 = 1.116 - 0 = 1.116 \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

fläche zwischen zwei kurven, bereichsintegral

Verwandte Themen