Lin. Gl.system mit trig. Funktionen

07.09.2011, 18:30

Plüsch

Lin. Gl.system mit trig. Funktionen

Meine Frage:
Hallo zusammen Ich habe 2 Gleichungen 2 unbekannte Winkel.
$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> 200*\cos(\alpha)= 250*\cos(\beta)<br /> \wedge 200*\sin(\alpha)+250*\sin(\beta)=250<br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Soweit sogut und es sollte alles glatt gehen. Ich habe auch die Lösungen alpha=23,6° beta=42,8°. Aus der Skizze kann man noch entnehmen, dass die Winkel zwischen 0 und 90° liegen müssen.
Ich habe die erste Gl. nach alpha umgeformt. Dies hab ich dann in die 2. Gleichung eingesetzt und meinen Taschenrechner nach beta umformen lassen (Voyage 200) da ich keine Möglichkeit sah.... Dieser lieferte mir dann aber auch ein falsches Ergebnis (nämlich beta=85,411°)

07.09.2011, 18:46

Helferlein

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Ich hab jetzt nicht überprüft, ob das zur Lösung führt, aber spontan würde ich sagen Teile beide Gleichungen durch 50 und quadriere sie anschließend.
Dann lassen sie sich cosinus und sinus leichter ineinander überführen.

07.09.2011, 18:58

riwe

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beide gleichungen dann noch addieren Augenzwinkern

07.09.2011, 19:30

Plusch

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Ehrm also ^^ durch 50 teilen für die Übersichtlichkeit... und dann quadrieren was wir auch dürfen, da alpha und beta ja zwischen 0 und 90 liegen und damit beide Seiten positiv sind:
$\begin{eqnarray*} 16*\cos^2(\alpha)=25*cos^2(\beta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \wedge 16*\sin^2(\alpha)+25*sin^2(\beta)=25. \end{eqnarray*}$
Und jetzt...

Zitat:

Original von riwe
beide gleichungen dann noch addieren Augenzwinkern

Hmm joa ehrm... also ich hab dann einfach mal die beiden Gleichungen "gleich gesetzt". Ich hoffe das war gemeint damit...?
$\begin{eqnarray*} 16*\cos^2(\alpha)-25*cos^2(\beta)=16*\sin^2(\alpha)+25*sin^2(\beta)-25 \end{eqnarray*}$
Dann kürzt sich schon viel weg (durch cos^2+sin^2=1) und übrig bleibt dann
$\begin{eqnarray*} \sin^2(\alpha)-cos^2(\alpha)=0 \end{eqnarray*}$
3. Binomische Formel... und dann krieg ich raus, dass:
$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)=\cos(\alpha) \vee \sin(\alpha)=-cos(\alpha) \end{eqnarray*}$
joa und das ist ja nur bei pi/4 bzw. 45° der Fall in unserem Intervall hier (0-90°)
Ich finde jetzt nicht den Fehler in meinen Umformungen ^^

07.09.2011, 19:45

Plüsch

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arghhhhh k quadrieren ist schon schwierig XD 2 Gleichung ist natürlich falsch... mal schaun ob ich nun zum Ziel komme....

07.09.2011, 19:56

riwe

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Zitat:

Original von Plusch
Ehrm also ^^ durch 50 teilen für die Übersichtlichkeit... und dann quadrieren was wir auch dürfen, da alpha und beta ja zwischen 0 und 90 liegen und damit beide Seiten positiv sind:
$\begin{eqnarray*} 16*\cos^2(\alpha)=25*cos^2(\beta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \wedge 16*\sin^2(\alpha)+25*sin^2(\beta)=25. \end{eqnarray*}$
Und jetzt...

Zitat:

Original von riwe
beide gleichungen dann noch addieren Augenzwinkern

quadrieren sollte man können Augenzwinkern

und bevor du (II) quadrierst, solltest du natürlich den term mit $\begin{eqnarray*} sin\beta \end{eqnarray*}$ auf die rechte seite schaffen!!!

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