Grenzwertbestimmung einer Zahlenfolge mit Wurzel durch 3. binomische Formel

07.09.2011, 20:16

lady_mi

Grenzwertbestimmung einer Zahlenfolge mit Wurzel durch 3. binomische Formel

Meine Frage:
Es soll der Grenzwert der Zahlenfolge
$\begin{eqnarray*} a_{n}= \lim_{n \to \infty b} \sqrt{n+ \sqrt{n}}-\sqrt{n- \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$
mittels Erweiterung und Anwenung der 3. binomischen Formel gefunden werden.
Wie man das erweitert ist mir ja noch klar, aber dann hört es auch auf. Es soll wohl ein Grenzwert von g=1 rauskommen... Aber wie?

Meine Ideen:
Wie man das erweitert ist mir ja noch klar, aber dann hört es auch auf. Es soll wohl ein Grenzwert von g=1 rauskommen... Aber wie?

Edit (mY+): LaTeX-Tags eingefügt!

07.09.2011, 20:19

mYthos

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Was bekommst du NACH der Erweiterung? Womit hast du denn erweitert?

mY+

07.09.2011, 20:22

Mulder

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RE: Grenzwertbestimmung einer Zahlenfolge mit Wurzel durch 3. binomische Folge
$\begin{eqnarray*} a_{n}= \lim_{n \to \infty b} \sqrt{n+ \sqrt{n}}-\sqrt{n- \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Wenn du weißt, wie es geht, mach das doch erstmal. Dann den Zähler vereinfachen und im Nenner musst du dann nur noch geschickt ausklammern, damit du schön kürzen kannst.

Edit: Und raus.

07.09.2011, 20:31

lady_mi

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Nach der Erweiterung mit
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+\sqrt{n} } + \sqrt{n-\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$
gemäß 3. Bin.Formel habe ich
$\begin{eqnarray*} n+\sqrt{n} -n-\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+\sqrt{n} } + \sqrt{n-\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

Ab hier komme ich beim besten Willen nicht weiter. Bin mir nicht mal sicher, ob ich im Zähler nicht sogar nen Vorzeichenfehler gemacht habe...

Edit (mY+): LaTeX-Tags gesetzt.

07.09.2011, 20:39

mYthos

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Bitte setze deine Terme, welche du ja so schön in LaTeX geschrieben hast, auch in entsprechende "Tags", also schliesse sie - mittels des f(x) - Buttons - in

code:
1:	[latex] .... [/latex]

ein!
_____________________

Ja, im Zähler ist ein Vorzeichenfehler, ansonsten stimmt es aber. Was soll also richtig im Zähler stehen?

Tipp: Klammere hierauf im Nenner $\begin{eqnarray*} \sqrt n \end{eqnarray*}$ aus.

mY+

07.09.2011, 21:35

lady_mi

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Gehört der Zähler also so: $\begin{eqnarray*} n+\sqrt{n} - n+\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ ?

Ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich da Wurzel n ausklammern kann. Was steht denn dann in den Klammern?

07.09.2011, 21:48

mYthos

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Ja doch, im Zähler fallen dann die n weg und es sollte $\begin{eqnarray*} 2\sqrt n \end{eqnarray*}$ bleiben.

Im Nenner muss $\begin{eqnarray*} \sqrt n \end{eqnarray*}$ ausgeklammert werden.
Denke dabei daran, dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b} = \sqrt a \sqrt{1 + \frac b a} \end{eqnarray*}$

ist, also dass man "unter der Wurzel" dividieren oder ausmultiplizieren kann.

mY+

07.09.2011, 22:02

lady_mi

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Also:
$\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{n} :<br /> \sqrt{n} \sqrt{1+\sqrt{n:n} } + \sqrt{n} \sqrt{1-\sqrt{n:n} }<br /> = 2 \sqrt{n} : \sqrt{n}x\sqrt{1} +\sqrt{n}x\sqrt{1} \end{eqnarray*}$
und damit
1:1 und gelöst?

Isses so? Bitte, bitte!

07.09.2011, 22:15

mYthos

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Nach deiner Rechnung fallen sämtliche n heraus und man müsste demnach gar keinen Grenzübergang mehr vollziehen. Dem ist aber nicht so.

Erschwerdend beim Faktorisieren des Nenners ist, dass unter einer "großen" Wurzel nochmals eine "kleine" Wurzel, nämlich die aus n steht. Somit muss diese Zerlegung etwas anders gehen:
Erster Summand:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n + \sqrt n} = \sqrt n (1 + \frac {\sqrt n}{n}) = \sqrt n (1 + \frac 1 {\sqrt n}) \end{eqnarray*}$

Wenn du das noch f.d. 2. Summanden vervollständigst, kannst du den ganzen Bruch durch $\begin{eqnarray*} \sqrt n \end{eqnarray*}$ kürzen und danach leicht den Grenzübergang durchführen, denn wenn die Wurzel aus n im Nenner gegen Unendlich geht, geht der ganze Bruch gegen Null. Was letztendlich dann bleibt, ist $\begin{eqnarray*} \frac 2 2 \end{eqnarray*}$ ...

mY+

07.09.2011, 22:30

lady_mi

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Ah, jetzt hab ichs! Vielen Dank!

08.09.2011, 08:58

René Gruber

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Ohne Worte...

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n + \sqrt n} = \sqrt n (1 + \frac {\sqrt n}{n}) = \sqrt n (1 + \frac 1 {\sqrt n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n + \sqrt n} = \sqrt{ n \left(1 + \frac {\sqrt n}{n} \right)} = \sqrt{ n \left(1 + \frac 1 {\sqrt n} \right)} \end{eqnarray*}$

09.09.2011, 10:52

mYthos

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Ja, leider, in der Eile habe ich mich etwas verhaspelt, kann ja auch mal passieren.

Zitat:

Ohne Worte...

Hättest das aber auch netter sagen können, oder nicht?
Wieder einmal: Hauptsache, du kannst dein Gift verspritzen.

So geht's:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n + \sqrt n} = \sqrt{n(1+\frac{\sqrt n} n)} = \sqrt n \cdot \sqrt{1 + \frac{\sqrt n} n} \end{eqnarray*}$

mY+

09.09.2011, 11:36

René Gruber

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Der Beitrag war ohne Worte, sondern nur eine Formel. Wenn du darüber hinaus noch was anderes draus zu lesen glaubst, ist das dein Problem - von mir war es jedenfalls nicht so gemeint.

Komm mal wieder runter von deinen Hasstiraden - du gibst hier ein äußerst schlechtes Vorbild als Moderator ab. Finger2

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