Verschoben! Numerische Logarithmen

07.09.2011, 23:02

NumLog

Numerische Logarithmen

Hallo

ich würde gerne wissen wollen ob es eine Numerische Berechnung ähnlich dem Newton-Verfahren wie bei der Wurzelrechung auch für Logarithmen gibt?

DANKE

07.09.2011, 23:08

Pascal95

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Wenn du sowas wie $\begin{eqnarray*} \log k \end{eqnarray*}$ berechnen willst, kannst du mit dem Newton-Verfahren die Nullstelle der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\log k - x \end{eqnarray*}$ beliebig genau bestimmen.

Ich weiß nicht, ob es das ist, nach was du gesucht hast.
Wenn nicht, so versuche dich genauer auszudrücken.

Wink

08.09.2011, 13:40

NumLog

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könnte sein, glaube ich

so etwas in der Form von wie bei

wikipedia.org/wiki/Wurzelrechnung

- Numerische Berechnung

Um einen Näherungswert für eine Wurzel zu erhalten.....
....

2.Iteriere nach der Vorschrift

.....

--------------------------------------------------------------

aber wie macht man das bei Logarithmen.

das von dir

f(x) =log k -x

????

was ist das für ein "Bild" über Dabei seit: 28.02.2011 ?

08.09.2011, 16:33

Pascal95

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Hallo,

du meinst wohl diese Seite (http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelrechnung#Numerische_Berechnung).

Wenn du weißt, wie die numerische Berechnung bei den Wurzelausdrücken funktioniert hat, sollte es dir bei den Logarithmen erst recht nicht schwer fallen.

Bedenke $\begin{eqnarray*} \log_a(b)=c\ \Leftrightarrow\ a^c=b \end{eqnarray*}$ .

Falls du allerdings Fragen hast, wie man z.B. auf diese Iterationsvorschrift $\begin{eqnarray*} y \mapsto \frac{(n-1)y^n + x}{n \cdot y^{n-1}} \end{eqnarray*}$ kommt, kann ich dir auch gerne weiterhelfen.

Edit:
Das Bild, also das Avatar über dem Datum, seit wann man dabei ist, kann man selber (als registrierter Nutzer !) einstellen. Auf diesem Bild ist eine offensichtlich falsche Gleichung zu sehen.
Aber vielleicht kennst du schon Grenzwerte bzw. solche die über alle Grenzen wachsen (bestimmte Divergenz), also gegen $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ (plus oder minus). Eine ähnliche Funktion konvergiert für $\begin{eqnarray*} x\to8 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ (liegende acht), dann auch die Funktion mit den Fünfen gegen die liegende 5 Big Laugh

08.09.2011, 19:08

NumLog

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JA, genau diese Funktion meinte ich

hir ist ja "n" der Exponent, "x" Radikand und "y" der Wurzelwert

so ist dann für

log_a(b) = c <-> a^c = b

log_n(y) = x <-> n^x = y

dann wäre

Exponent = a | "n" der Exponent

Radikand = c | "x" Radikand

Wurzelwert = b | "y" vder Wurzelwert

dann müsste die Funktion y -> ((n-1)*y^n+x)/(n*y^(n-1)) nach c umgestellt werden

-------------------------------------------------------------

Ich bin zur Zeit dabei Grenzwerte, Integrale und Differentiale zu verstehen smile

08.09.2011, 19:18

Pascal95

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Ok, zur Übung würde ich empfehlen, das eher noch mal neu zu entwickeln - schließlich wird das andere Beispiel ja auf Wikipedia hergeleitet.

Sagen wir mal, du möchtest $\begin{eqnarray*} \log_a(b) \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Nennen wir den Wert mal $\begin{eqnarray*} c=\log_a(b) \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt: $\begin{eqnarray*} \log_a(b)=c\ \Leftrightarrow\ a^c=b \end{eqnarray*}$ .

Da wir eine Nullstelle suchen werden, lösen wir das nach 0 auf (-b).

Dann kannst du eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ abhängt beschreiben.

08.09.2011, 19:31

NumLog

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Herr Lehrer

ich versuche es mal

0 = log_a(b) - c

f(c) = log_a(b) - c

08.09.2011, 19:40

Pascal95

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Hier ist dann das Problem, dass wir $\begin{eqnarray*} \log_a(b) \end{eqnarray*}$ ja noch gar nicht kennen, aber das, was wir als Mathematiker können: Wir wissen, wie es definiert ist.

Daher den Post, den ich ganz am Anfang geschrieben habe, nicht allzu ernst nehmen.

Du kannst dir das auch so vorstellen:

Wir wissen überhaupt nicht, was für einen Wert $\begin{eqnarray*} c=\log_a(b) \end{eqnarray*}$ annimmt, aber wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} a^c=b \end{eqnarray*}$ ist (Definition).
Und sowas können wir ja berechnen.

Nun wollen wir ja eine Nullstellengleichung haben, da es darum im Newtonverfahren geht.
Daher subtrahieren wir b.
Dann heißt es $\begin{eqnarray*} a^c-b=0 \end{eqnarray*}$ .

Denk aber daran, dass wir $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ kennen.
Falls wir jetzt ein c finden (heißt $\begin{eqnarray*} \log_a(b) \end{eqnarray*}$ ), dass die Gleichung erfüllt, haben wir es geschafft!

Da wir also verschiedene c einsetzten, und prüfen, für welche die Gleichung erfüllt ist, ist c variabel.

Nun machen wir eine Funktion draus $\begin{eqnarray*} f(x)=a^x-b \end{eqnarray*}$
Ich benutze nicht c, denn das ist ja die Nullstelle dieser Funktion - und genau da haben wirs!

Verdaue das, und überlege dir, wie wir jetzt mit dem Newtonverfahren arbeiten können...

Wink

08.09.2011, 20:01

Huggy

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Zitat:

Original von Pascal95
aber wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} a^c=b \end{eqnarray*}$ ist (Definition).
Und sowas können wir ja berechnen.

Können wir das wirklich für beliebiges reelles c?
Der Computer oder Taschenrechner kann das natürlich. Aber der kann ja auch Logarithmen berechnen.

Mit anderen Worten, wenn man die Frage stellt, wie kann man Logarithmen berechnen, sollte man erst mal definieren, welche Hilfsmittel (Funktionen, Rechenoperationen) man als gegeben betrachtet.

Wenn man die allgemeine Exponentialfunktion als gegeben betrachtet, ist der Weg in Ordnung. Wenn man aber die Berechnung von Logarithmen auf die elementaren Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zurückführen möchte, geht das so nicht.

08.09.2011, 20:05

Pascal95

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Da die Aufgabe $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ zu berechnen, auch die Exponentialfunktion (auf jeden Fall für natürliche Exponenten) als bekannt voraussetzt, blieb ich auf diesem Niveau.

08.09.2011, 20:09

Huggy

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Die Exponentialfunktion für natürliche Zahlen als Exponenten ist nur eine wiederholte Multiplikation.

Ich will auch gar nicht an deinem Weg herummeckern. Ich will nur darauf hinweisen, dass man vorher klären sollte, welche Hilfsmittel als gegeben betrachtet werden.

08.09.2011, 21:33

NumLog

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Hilfsmittel:

kein PC, Taschenrechner, Logarithmentabellen, Rechenschieber, ...

nur Stift und Papier

weil dann wäre es dies hir sinnloss

Ich habe bis jetzt nur ein parr Tag Erfahrung

Herr Lehrer

über den Nullstellensatz der Tangentenfunktion

(a^x-b)-(a^x-b)/(d(a^x-b)/(dx))

08.09.2011, 22:10

Pascal95

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Wenn man $\begin{eqnarray*} f(x)=a^x-b \end{eqnarray*}$ ableitet, taucht allerdings der (natürliche) Logarithmus auf, den man aber ebenfalls über das Newtonverfahren annähern kann.

$\begin{eqnarray*} \ln (v)=w\ \Leftrightarrow\ v=\operatorname{e}^{w} \end{eqnarray*}$

Jetzt müssten wir wiederum nachhaken, ob die Exponentialfunktion verwendet werden darf...

Kennst du denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ?

08.09.2011, 22:37

NumLog

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wir machen erstmal "einfach" weiter man kann sich ja noch steigern Augenzwinkern

Herr Lehrer

Ableitung a^x-b = a^x*log(a)

= d(a^x-b)/(dx))
= d(a^x)/(dx)) = a^x*log(a)
= d(b)/(dx)) = 0
-> a^x*log(a)-0

Ableitung der e-Funktion = e-Funktion

08.09.2011, 22:47

Pascal95

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Genau.

Hier fragt sich natürlich, ob man den natürlichen Logarithmus als bekannt voraussetzen darf...

Nun könntest du ja trotzdem mal das Iterationsverfahren für das Newtonverfahren bestimmen.

Dazu definiert man halt eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=a^x-b \end{eqnarray*}$ .

Du kennst vielleicht die Iterationsfolge $\begin{eqnarray*} x_{i+1}\ =\ x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)} \end{eqnarray*}$ ...

09.09.2011, 00:17

NumLog

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den natürlichen Logarithmus zu nehemn ist wohl erstmal die einfachste Lösung

ist denn meine Ableitung d(a^x-b)/(dx)) von a^x-b -> a^x*log(a) falsch?

ja, es beschreib ja die Nullstelle der Tangente

(a^x-b)-(a^x-b)/(d(a^x-b)/(dx))

= a^x-(a^(-x)*(a^x-b))/(log(a))-b

aber das "i" f(x_i) muss ich doch irgendwie mit einfügen?

09.09.2011, 09:11

Pascal95

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Deine Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=a^x \cdot \ln a \end{eqnarray*}$ ist völlig richtig.

Um nun die Iterationsfolge für das Newton-Verfahren zu bestimmen, kannst du $\begin{eqnarray*} f(x_i) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x_i) \end{eqnarray*}$ ja durch entsprechende Werte ersetzen.

09.09.2011, 13:54

NumLog

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Herr Lehrer

f(x) -> (a^x-b)

f`(x) -> (d(a^x-b)/(dx)) -> a^x*log(a)

x-f(x)/f´(x) -> x-(a^-x*(a^x-b))/(log(a))

ich glaube aber das es so nicht ganz richtig ist.

09.09.2011, 15:13

Pascal95

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Es ist wohl am einfachsten, bei $\begin{eqnarray*} x_{i+1}\ =\ x_i - \frac{a^{x_i}-b}{a^{x_i}\cdot \ln (a)} \end{eqnarray*}$ zu bleiben.

Setzen wir z.B. $\begin{eqnarray*} a:=2, ~ b=3 \end{eqnarray*}$ , so sieht man, dass dieses Verfahren wirklich sehr schnell konvergiert, und zwar gegen $\begin{eqnarray*} \log_a(b) ~ = ~ \log_2(3) \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ gab mein selbst geschriebenes Programm folgendes aus:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6:	x0 = 1 x1 = 1,72134752044448 x2 = 1,59121064192731 x3 = 1,58497601118949 x4 = 1,58496250078441 x5 = 1,58496250072115

Wenn du nun zur Kontrolle $\begin{eqnarray*} 2^{x_5} \end{eqnarray*}$ ausrechnest, landest du bei 2.9999999999999871460283072678386366869409084308016503423030095...

09.09.2011, 15:29

NumLog

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wow wow wow Blumen

ein eigenes Programm

dann hatte ich es ja schon Freude

das war glaube ich die "einfache" Lösung

@ Pascal95
Gestern, 22:10

Jetzt müssten wir wiederum nachhaken, ob die Exponentialfunktion verwendet werden darf...

das war mit Exponentialfunktion, jetzt ohne

wird es noch sehr schwieriger ? verwirrt

09.09.2011, 15:39

Pascal95

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Also die Exponentialfunktion setze ich als bekannt voraus.
Wie allerdings Huggy schon erwähnt hat, kann man diese Funktion auch auf die elementaren Operationen zurückführen.

Allerdings sah ich das Problem vielmehr, den natürlichen Logarithmus zu verwenden.

Daher kann man ja $\begin{eqnarray*} \ln (v)=w\ \Leftrightarrow\ v=\operatorname{e}^{w} \end{eqnarray*}$ benutzen und fragt sich dann aber, ob die $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ -Funktion bekannt ist...

Da $\begin{eqnarray*} \lim_{i\to\infty} x_i \end{eqnarray*}$ ja sowieso gegen $\begin{eqnarray*} \log_a(b) \end{eqnarray*}$ konvergiert, und ja häufig nicht ganzzahlig ist, muss man ja irgendwie $\begin{eqnarray*} a^{x_i} \end{eqnarray*}$ berechnen für $\begin{eqnarray*} x_i\not\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ...

09.09.2011, 16:10

Huggy

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Es ist klar, dass dieses Verfahren die Anforderung, mit Papier und Bleistift durchführbar, nicht erfüllt.

09.09.2011, 18:08

NumLog

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dem nach braucht man auf jedenfall entweder Logarithmentabellen, Rechenschieber oder auch die darstellung als Potenzreihe.

oder über andere Potenzen ( 2^... oder auch 3^....) die man besser im kopf rechen (der auch auf dem Papier schrieftlich) kann, da doch die Exponentialfunktion "kein Ende" hatt

09.09.2011, 19:15

Huggy

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Die Berechnung über Potenzreihen ist sicher am effektivsten. Und diese Rechnung benutzt nur die Grundrechenarten. So berechnen auch Taschenrechner die Logarithmen.

09.09.2011, 20:04

NumLog

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damit was das wohl soweit gewesen

ich fasse es zu sammen:

$\begin{eqnarray*} x_{i+1}\ =\ x_i - \frac{a^{x_i}-b}{a^{x_i}\cdot \ln (a)} \end{eqnarray*}$

aber wie $\begin{eqnarray*} e^{a} = \sum\limits_{x=1}^\infty \frac{a^x}{x!} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \ln(a) \end{eqnarray*}$ mit die Potenzreihe in der Numerische Rechnung auftrit

wenn es soweit noch andere möglichkeiten gibt dann habe ich wohl zu schnell vorausgefasst.

PS. das in latex zu verfassen damit es besser zulesen ist, ist langwierig

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