Grenzwert

08.09.2011, 00:48

ryu15

Grenzwert

hiho,

ich hab hier ne aufgabe bei der ich den zeigen soll das

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2-1}=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

jedoch weiss ich nichtma wie ich anfangen soll, wäre nett wenn mir einer nen ansatz liefern könnte!

08.09.2011, 01:46

sergej88

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Hallo,

benutze
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2-1} = \frac{1}{(k+1)(k-1)} = \frac{1}{2(k-1)} - \frac{1}{2(k+1)} \end{eqnarray*}$
Damit kommst du zu einer Teleskopreihe und somit zu
$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2 - 1} = \frac{3n^2 - n - 2}{4n(n+1)} \end{eqnarray*}$
anschliessend kann man zum Grenzwert übergehen.

mfg

PS: in deiner Behauptung sollte wohl das n eher ein $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ sein.

08.09.2011, 14:55

ryu15

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stimmt das n soll eigentlich unendlich sein.

danke schonma für die hilfe nur verteh ich irgendwie nicht wie man von
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(k+1)(k-1)} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2(k-1)}-\frac {1}{2(k+1)} \end{eqnarray*}$ kommst.

ich denk ma du hast das mit partialbruchzerlegung geöst aber bei mir sieht das dann so aus $\begin{eqnarray*} 1=\frac{A(k+1)+B(k-1)}{(k+1)(k-1)} \end{eqnarray*}$

wie man aber das A und B bestimmt seh ich irgendwie nicht

08.09.2011, 14:58

René Gruber

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Zitat:

Original von ryu15
$\begin{eqnarray*} 1=\frac{A(k+1)+B(k-1)}{(k+1)(k-1)} \end{eqnarray*}$

Na so nicht - entweder auf beiden Seiten der Nenner, oder auf keiner. Sagen wir "auf keiner":

$\begin{eqnarray*} 1 = A(k+1)+B(k-1) \end{eqnarray*}$

mit Lösung $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2},B=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ per Koeffizientenvergleich.

08.09.2011, 15:33

ryu15

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irgendwie komm ich nicht auf die koeffizienten (sry für die doofen fragen aber partialbruchzerlegung is so ne sache bei mir!)

also ich hab jetz $\begin{eqnarray*} 1=Ax+A+Bx-B \end{eqnarray*}$

das lsg ist dann ja $\begin{eqnarray*} ~\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 &-1 \end{vmatrix}=~\begin{vmatrix} 1 \\ 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

was bei mir $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} , B=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ macht Erstaunt1

08.09.2011, 15:41

René Gruber

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Zitat:

Original von ryu15
das lsg ist dann ja $\begin{eqnarray*} ~\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 &-1 \end{vmatrix}=~\begin{vmatrix} 1 \\ 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Dieses GLS würde zu $\begin{eqnarray*} x=Ax+A+Bx-B \end{eqnarray*}$ passen, aber NICHT zu dem tatsächlichen $\begin{eqnarray*} 1=Ax+A+Bx-B \end{eqnarray*}$ . unglücklich

08.09.2011, 16:14

ryu15

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ok jetz seh ichs auch, vielen dank!

bin jetz auch auf die lösung $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ gekommen aber ein bsichen anders als sergej

ich hab es als 2 summen geschriebn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ( \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(k-1)} -\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(k+1)}) \end{eqnarray*}$

und mir dann die ersten summenglieder notiert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+...+ \frac{1}{n-1}-( \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{n}+ \frac{1}{n+1})= \frac{1}{2}(1+ \frac{1}{2}- \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}) \end{eqnarray*}$

ausmultipliziert is es dann $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}- \frac{1}{2n} -\frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

und da n halt gegen unendlich läuft is der wert 3/4

is das ein "guter" weg oder gibts ein besseren wo man nicht die ersten paar summenglieder notieren muss

08.09.2011, 16:32

René Gruber

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Zitat:

Original von ryu15
ausmultipliziert is es dann $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}- \frac{1}{2n} -\frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Ich halte diese Partialsummendarstellung auch für geeigneter als die von sergej88 hinsichtlich der Grenzwertbildung. Mathematisch ist es natürlich dasselbe.

08.09.2011, 16:34

ryu15

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kk ich werd mir dann ma noch paar aufgaben zu partialbruchzerlegung anschauen, ich denk ma das prinzip hab ich soweit verstanden, vielen dank!

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