Vektorraum, Basis, Dimension

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Schweinski Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum, Basis, Dimension
Hallöle!

Ich habe schon mehrfach im Internet gesucht. Aber keine Internetseite kann mir mit simplen Worten ausdrücken, was ein Vektorraum, eine Basis
und eine Dimension sind. Und natürlich, wie man sie durch Rechnungen bzw. Umformen erhält. Vielleicht weiß ja jemand von euch einen Rat?

Außerdem: Bei linearer Abhängigkeit sind r1 = r2 = r3 = ...= rn = 0, oder verwechsel ich das jetzt genau?

LG smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, Basis, Dimension
Naja, was ist dir denn schon zu unsimpel? Zu einem Vektorraum gibt es ja (eine) Definition. Was bereitet dir darin Probleme? Da können wir dann ansetzen.

Grundsätzlich spielen wir in der Mathematik. Unsere Bausteine sind "Elemente" und im Regelwerk steht drinnen, wie wir diese Verknüpfen (+,*) können.

Für einen Vektorraum brauchen wir Vektoren und Skalare als Spielfiguren. Welche Verknüpfungen stehen in den Regeln?
Eric_09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, Basis, Dimension
Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, die
den Vektorraum aufspannen, d.h. jeder Vektor des Vektorraums liegt im Erzeugnis
ebendieser Menge.

Die Anzahl der Elemente der Menge ist die Dimension. Die Dimension ist
unabhängig von der Wahl der konkreten Basis.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, Basis, Dimension
@Eric: Lass doch bitte erst mal den Fragesteller spezifizieren, wo genau seine Probleme liegen. Augenzwinkern Gerade wenn er schreibt,

Zitat:
Ich habe schon mehrfach im Internet gesucht. Aber keine Internetseite kann mir mit simplen Worten ausdrücken, was ein Vektorraum, eine Basis und eine Dimension sind.


Dein post verwendet schon wieder Fachbegriffe, die für den Kundigen natürlich klar sind. Aber der sollte auch mit den Definitionen keine Probleme haben. Augenzwinkern
Schweinski Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, eben diese ganzen Fachbegriffe sind mir schon zu viel.
In den Mathebüchern, sowie om Internet stehen ja die ganzen "Axiome" für die Definition eines Vektorraumes.
Kann man nicht einfach



als Vektorraum bezeichnen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn das ist ja nur die Visualisierung eines Vektors eines endlich-dimensionalen Vektorraums. Und alleine "endlich" zu sein, ist schon ein Spezialfall und schränkt viel zu sehr ein.

Ferner braucht man, um einen Vektor so schreiben zu können, erst mal eine Basis, um zu wissen, was die Schreibweise überhaupt bedeuten soll.

http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Formale_Definition

Ich nehme an, du musst dich in der Schule damit befassen?
 
 
Schweinski Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, Schule. -.-
Und ich steig immer noch nicht durch.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir mal ein konkretes Beispiel. Den IR², den du dir als die Zeichenebene vorstellen kannst. Wir beschänken uns da mal auf ein DinA 4Blatt. Da machst du nun mal ein x rein. Dieses x ist also ein Element des Vektorraums und wir nennen es einen Vektor.

Wenn wir nun aber



schreiben wollen, sind wir voll gekniffen. Denn was soll denn x1, was x2 sein. Also was sind die Koordinaten von x? Was brauchen wir da denn erst mal?
Schweinski Auf diesen Beitrag antworten »

So weit so gut.

Brauchen doch eine Einheit an den Koordinatenachsen, oder was meinst du?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Haben wir auf dem weißen Blatt mit dem x denn Koordinatenachsen...
Schweinski Auf diesen Beitrag antworten »

Nein und auch somit keine Einteilung.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Eben. Also ein Vektorraum ohne Basis.

Nun zeichne mal dünngestrichelt ein Koordinatensystem rein. Wie gewohnt senkrechte Linien. Aber merke (senkrecht ist ein Spezialfall).

Dann auf jeder Linie 1cm als Einteilung. Wo sich die Achsen schneiden ist (0|0), der Nullvektor.
Schweinski Auf diesen Beitrag antworten »

Dann könnte man X mit (x/y) ablesen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Eben.

Und nun mache auf den Achsen bei (1|0) und (0|1) auch Kreuzchen. Diese beiden Vektoren sind die Basis, mit der wie den Vektorraum so eben ausgestattet haben. Somit können wir jedem Vektor nun eindeutige Koordinaten bzgl. dieser Basis geben.

Aber es gäbe noch viele andere Möglichkeiten, so ein (rechtwinkliges) Koordinatensystem einzuzeichnen. Also auch viele anderen Basen des Vektorraums.

Merke: Vektoren als () nur, wenn man eine Basis hat.
Schweinski Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, Basis gecheckt. smile

Und was ist nun eine Dimension?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

So, wie viele Vektoren hat unsere Basis denn?
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