Fixpunktiteration

22.12.2006, 21:07	Gerd	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunktiteration Hi, ich versuche gerade, meine erste praktische Aufgabe zur Fixpunktiteration zu lösen - aber das will nicht so recht. Ich soll die Nullstellen folgender Funktion approximieren: $\begin{eqnarray} f(x) = e^x - 3x^2, (x \in \mathbb{R}) \end{eqnarray}$ ... und folgendes angeben: - für die Bestimmung jeder der Nullstellen ein abgeschlossenes Intervall für den Startwert $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ - eine Kontraktionskonstante - die Iterierten $\begin{eqnarray} x_0,...,x_5 \end{eqnarray}$ - eine Fehlerabschätzung für $\begin{eqnarray} x_5 \end{eqnarray}$ Aber es hakt schon beim Finden der Iterationsfunktion. Kann man hier einfach $\begin{eqnarray} F(x) := \ln(3x^2) \end{eqnarray}$ nehmen? Und wie bestimmt man denn ein geeignetes Intervall für den Startwert? Wir haben das leider nur sehr oberflächlich behandelt und in der Anwendung finde ich das doch etwas verwirrend.
22.12.2006, 21:21	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du denn schon eine Vorstellung, wieviel Nullstellen es überhaupt gibt? P.S.: Ich geb dir mal ein paar Grafiken zum Nachdenken.
22.12.2006, 22:10	Gerd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß jetzt nicht, was du mir damit sagen willst. Habe ich Unsinn erzählt? f besitzt drei Nullstellen. Der erste Graph ist meine vermutete Iterationsfunktion und besitzt für drei geeignete Intervalle je einen Fixpunkt. Der zweite Graph ist nach x^2 aufgelöst und man erhält damit auch die drei Nullstellen (rot und grün schneiden sich weiter rechts noch einmal). Aber wenn ich im ersten Graphen z.B. das Intervall I:=[0.5, 1.5] betrachte, ist $\begin{eqnarray} F'(x) = \frac{2}{x} > 1 \quad \forall_{x \in I} \end{eqnarray}$ . Dann kann ich den Banachschen Fixpunktsatz ja nicht anwenden.
22.12.2006, 22:34	Gerd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich merke gerade, daß ich die Voraussetzungen durcheinandergeworfen habe. Es muß ja: $\begin{eqnarray} X = [a,b], \quad F(x) \in [a,b] \quad \forall_{x \in [a,b]}, \quad \|F'(x)\| \leq M \quad \forall_{x \in X} \text{ und } (M<1) \end{eqnarray}$ Also war das obige Intervall ohnehin nicht möglich.

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