Potenzreihe: arctan(x)

08.09.2011, 16:37	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe: arctan(x) Hallo, ich hänge gerade etwas. Ich habe hier eine alte Klausuraufgabe, in der man die Potenzreihe von $\begin{eqnarray} \arctan(x) \end{eqnarray}$ bestimmen soll. Dabei soll man über die Ableitung $\begin{eqnarray} \arctan(x)' = \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray}$ arbeiten. Ich denke man versucht zunächst eine Reihendarstellung für $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray}$ zu finden? Vielleicht geht hier was mit der geometrischen Reihe? Und diese Reihe dann integrieren?
08.09.2011, 17:09	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja, nach meiner Meinung kannst Du das so machen, wenn Du die erste Ableitung verwenden darfst. Gruß Christian
08.09.2011, 18:44	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt die Reihendarstellung von $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray}$ so? $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty (x^2)^n = \sum_{n=0}^\infty x^{2n} \end{eqnarray}$ Und das ganze ist konvergent für $\begin{eqnarray} \|x\| < 1 \end{eqnarray}$ . Was aber komisch ist, denn eigentlich müsste doch der Konvergenzradius unendlich sein? Ich will ja eine Reihe, die für jedes x mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray}$ übereinstimmt. edit: Ich muss dann wohl mit Taylor entwickeln oder?
08.09.2011, 18:54	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Potenzreihenentwicklung stimmt so nicht, achte auf die Vorzeichen. Gruß Christian
08.09.2011, 19:02	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, ich brauche ja: $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-x^2} \end{eqnarray}$ . Kriege ich das überhaupt auf diese Form? Ich glaube nicht... Ein Minus reinschmuggeln bring auch nichts. $\begin{eqnarray} \frac{1}{-(-1-x^2)} = - \frac{1}{-1-x^2} \end{eqnarray}$
08.09.2011, 19:04	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, 1+ x^2 = 1 - (-x^2) Gruß Christian
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08.09.2011, 19:08	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
muaahaha, so geil, wie dumm ich manchmal bin. Danke. Aber wie sieht es mit dem Konvergenzradius aus? $\begin{eqnarray} -x^2 < 1 \Leftrightarrow x^2 > -1 \Leftrightarrow \|x\| > \sqrt{-1} \end{eqnarray}$ Der Konvergenzradius ist jetzt eine komplexe Zahl oder wie?
08.09.2011, 19:13	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nun, auf komplexe Zahlen kann man keine Ordnung definieren, d.h. Deine Ungleichung ist nicht definiert. Für den Konvergenzradium gilt: \|x^2\| < 1. Also: \|x\| < 1. Gruß Christian

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