Aus Matrix Kern ablesen

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MaggyP Auf diesen Beitrag antworten »
Aus Matrix Kern ablesen
Meine Frage:
Hallo,
Ich soll aus folgender Matrix den Kern bestimmen:


Der Kern ist laut Lösung:



Ich würde aber noch

dazunehmen. Also die letzte Spalte. Warum macht man das nicht? Wo liegt mein Denkfehler?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Meine Ideen:
Meine Idee ist eben, dass der letzte Spaltenvektor nicht linear abhängig von dem dritten Spaltenvektor ist und deshalb nicht ignoriert werden darf. Aber das ist ja anscheinend falsch..
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Gegenfrage: Was ist denn der kern einer Matrix?

Wenn Du das verstanden hast, sollte schnell klar werden, wieso dein Vektor nicht im kern dieser Matrix sein kann.
MaggyP Auf diesen Beitrag antworten »

Das wird wohl das Problem sein.
Ich habe folgende Defintion:
Der Kern einer Abbildung ist ja die Menge aller Vektoren aus V, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Aber wie muss ich das verstehen? Wie interpretiere ich da das Gleichungssystem? Das mathematische Handwerkszeug kann ich eigentlich ganz gut, aber das alles zu verstehen fällt mir schwer. Habe schon einiges an Literatur bemüht, aber ich stehe immer wieder vor dem Problem, was ein Kern ist verwirrt
Lloyd Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ist doch auch richtig oder?
Eric_09 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lloyd
Aber ist doch auch richtig oder?

Natürlich. Der Kern ist ein ganzer Unterraum aufgespannt durch
Eric_09 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MaggyP
Das wird wohl das Problem sein.
Ich habe folgende Defintion:
Der Kern einer Abbildung ist ja die Menge aller Vektoren aus V, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Aber wie muss ich das verstehen? Wie interpretiere ich da das Gleichungssystem? Das mathematische Handwerkszeug kann ich eigentlich ganz gut, aber das alles zu verstehen fällt mir schwer. Habe schon einiges an Literatur bemüht, aber ich stehe immer wieder vor dem Problem, was ein Kern ist verwirrt

Der Kern ist die Menge aller Vektoren aus V, die auf den Nullvektoren abgebildet werden.

Es stellt sich weiter heraus, dass es nicht nur eine Menge ist, sondern ein Unterraum von V. Was du völlig falsch schreibst, ist dass der Kern ein einziger Vektor sei.
Ich behaupte mal mit Sicherheit, dass es in der Lösung auch nicht so geschreiben ist.

Ein Unterraum ist ferner ein Vektorraum und hat eine Basis. Die Aufgabe besteht darin
eine Basis des Kerns anzugeben. Das kann man "wie in der Schule" machen, oder auch systematisch mit Algorithmen.

Einer davon wäre folgender. Du notierst dir alle Spaltenindizes, die nicht einem Pivot-element gleichen. In deinem Fall ist das ein einziger, nämlich j = 3.

Als Ansatz bietet sich dann der Vektor

an.

Jetzt bestimmst du



Offensichtlich ist , man hätte auch gleich
ansetzen können.

Das liefert das Gleichungssystem


Und kann man mit Rückwärtseinsetzen sofort lösen.

Also ist
=
der gesuchte Kern-Basisvektor.
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht noch ein paar Worte zu deiner Frage von oben.

Zitat:
Original von MaggyP
Aber wie muss ich das verstehen? Wie interpretiere ich da das Gleichungssystem?

Wie ja schon mehrfach gesagt wurde, ist der kern einer linearen Abbildung die Menge von Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden (oder Alternativ ausgedrückt die Urbildmenge des Nullvektors). Wir haben es hier mit einer Matrix zu tun, die eine Abbildung induziert. Diese Abbildung lautet


Verbal ausgedrückt: Das Bild eines Vektors ist gerade der Vektor, der durch Multiplikation der Matrix mit dem Vektor entsteht.

Der Kern dieser Abbildung ist demnach .
Wenn Du nun deinen zweiten Vektor mit der Matrix multiplizierst, kommst du in der vierten Komponente auf -1, so dass sich unmöglich der Nullvektor ergeben kann.
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