Kommutierende Matrizen

08.09.2011, 19:32

Eric_09

Kommutierende Matrizen

Hallo Leute, ich stehe vor einem Problem, das ich nicht lösen konnte verwirrt

ich soll zeigen, dass für quadratische Matrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (I+A)^{-1} \end{eqnarray*}$ kommutieren.

Also zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} A (I+A)^{-1} = (I+A)^{-1} A \end{eqnarray*}$

Überseh ich vllt einen Trick? Probiert habe ich bis jetzt z.B. das
Probelm auf sowas

$\begin{eqnarray*} (I+A) A (I+A)^{-1} = A \end{eqnarray*}$

umzuformen, aber auf die Lösung bin ich noch nicht gekommen.

Danke!

08.09.2011, 19:37

Eric_09

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RE: Kommutierende Matrizen
$\begin{eqnarray*} (I+A)^{-1} \end{eqnarray*}$ sollte dabei regulär sein, das kann man voraussetzen

08.09.2011, 19:38

weisbrot

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RE: Kommutierende Matrizen
hallo!
ich denke du solltest zuerst zeigen dass A und (I+A) kommutieren (easy), daraus kannst du die kommutativität von A mit der inversen von (I+A), wenn diese existiert, leicht zeigen. lg

08.09.2011, 19:43

Eric_09

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RE: Kommutierende Matrizen
Hallo weisbrot,

$\begin{eqnarray*} A (I+A) = A + A^2 = (I+A) A \end{eqnarray*}$

Multiplikation $\begin{eqnarray*} (I+A)^{-1} \end{eqnarray*}$ von links liefert

$\begin{eqnarray*} (I+A)^{-1} A (I+A) = A \end{eqnarray*}$

also das was ich zuvor geschrieben habe und

Multiplikation von $\begin{eqnarray*} (I+A)^{-1} \end{eqnarray*}$ von rechts liefert die Aussage

$\begin{eqnarray*} (I+A)^{-1} A = A (I+A)^{-1} \end{eqnarray*}$

Danke! Darf ich fragen, wie du das gesehen hast?

08.09.2011, 19:48

Eric_09

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RE: Kommutierende Matrizen
Als kleine Verallgemeinerung notiere ich mal:

Seien $\begin{eqnarray*} A, B \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ regulär. Dann gilt
$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ kommutieren $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ kommutieren

08.09.2011, 19:51

weisbrot

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RE: Kommutierende Matrizen
jo sehr schön Freude

naja gesehen nicht, eher nachgedacht.. mit der inversen brauch man ja offenbar garnicht anfangen, also nimmt man (I+A), und wenn man ein bisschen blickig ist, sieht man sofort, dass A mit (I+A) wegen distributivität kommutiert. rest ergibt sich, wie du siehst Augenzwinkern

lg

ps: du schreibst doch hier öfter mal, wieso meldest du dich nicht an?

edit: wenn ich mir jetzt nochmal angucke was du am anfang gemacht hast, hättest du auch von der zu beweisenden annahme äquivalent auf die aussage A(I+A)=(I+A)A schließen können, also andersrum, so hätte man es SEHEN können

08.09.2011, 19:52

weisbrot

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RE: Kommutierende Matrizen
guter nachtrag, es kommutieren dann sogar A-invers und B-invers Augenzwinkern

08.09.2011, 19:55

Eric_09

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RE: Kommutierende Matrizen

Zitat:

Original von weisbrot
ps: du schreibst doch hier öfter mal, wieso meldest du dich nicht an?

Gute Frage ^^ Faulheit vielleicht, und die Gast-Funktion ist ja so schön Big Laugh

09.09.2011, 08:46

tmo

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Bzgl. A und (I+A) kann man übrigens auch noch verallgemeinern:

Kommutieren A und B so kommutieren auch $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(B) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} P \in K[X] \end{eqnarray*}$ .

Wendet man diese Verallgemeinerung nochmal an, so kommutieren auch $\begin{eqnarray*} Q(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(B) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} P,Q \in K[X] \end{eqnarray*}$ .

Insbesondere kommutiert also jede Matrix mit polynominalen Ausdrücken in sich selbst (welch eine bescheuerte Formulierung Big Laugh

)

10.09.2011, 13:36

weisbrot

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oh ja! ein noch schönerer nachtrag. ich bin so stolz smile

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