Mo 451343

Neue Frage »

Kev11 Auf diesen Beitrag antworten »
Mo 451343
Man untersuche, für welche positiven ganzen Zahlen n es möglich ist, die Punkte 1,2,3,...,2n der Zahlengeraden so mit n Farben zu färben, dass jede Farbe genau zweimal vorkommt und jede positive ganze Zahl von 1 bis n genau einmal als Abstand gleichfarbiger Punkte auftritt.

Kann jemand von euch diese Aufgabe lösen?
Ich vermute die ersten n sind:
1, 4, 5, 9, 16, 40, 81, 221, 460, 1276, 2669, 7425, 15544, 43264, 90585, 252149, ...
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Hinweis: Die Aufgabe (klick) stammt aus der MO von 2005/2006, ist also aus keinem aktuellen Wettbewerb.

air
 
 
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Dass es für und nicht klappt, kann man sich leicht über geeignete Summen- bzw. Differenzbetrachtungen überlegen.

Für alle anderen (also oder ) klappt es aber, wie man dann durch Angabe einer jeweils geeigneten Färbung nachweisen kann, als Beispiel mal so eine Färbung für das in deiner Liste fehlende n=8:

(4,5)
(11,13)
(3,6)
(12,16)
(10,15)
(2,8)
(7,14)
(1,9)

Insofern ist deine Liste ziemlich lückenhaft.
Kev11 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hatte schon vermutet, dass eine lückenhafte Lösungsvermutung der Grund für das Scheitern meines Beweisversuches ist. Ich konnte mich aber nicht befreien, danke dass du mir geholfen hast :-).
eva_c Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich finde diese Aufgabe sehr interessant. Aber ich sehe nicht wie man leicht zeigen kann, dass es für n==2 mod 4 und n==3 mod 4 nicht klappt. Kann mir das jemand erklären?
Gruß Eva
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einer konkreten Färbung hast du zu jeder Farbe zwei Zahlen, die mit dieser Farbe gefärbt werden, eine kleinere und eine größere. Sei nun die Menge der kleineren und die Menge der größeren Zahlen dieser Färbung, sowie außerdem die Summe aller Zahlen aus sowie die Summe aller Zahlen aus .

Es ist und somit



Andererseits lässt sich Bedingung

Zitat:
Original von Kev11
jede positive ganze Zahl von 1 bis n genau einmal als Abstand gleichfarbiger Punkte auftritt.

in die Gleichung



übersetzen. Das Gleichungssystem (1)(2) kann man lösen, wobei u.a.



herauskommt. Nun muss aber eine ganze Zahl sein, was für und in Lösung (3) nicht der Fall ist - also kann es für derartige keine solche Färbung geben.
eva_c Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für diese gute Erklärung!
Gruß Eva
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen