Fundamentalsystem

09.09.2011, 09:45	gretaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Fundamentalsystem Meine Frage: Hey, ich habe noch eine Frage zu einer Klausuraufgabe: Die Aufgebenstellung lautete: Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem für die Differentialgleichung... Soweit so gut, ich habe die Nullstellen bestimmt, mit Polynomendivision, dabei kam 1 mit doppelter algebraischer Vielfachheit raus und 2i als auch -2i. Meine Ideen: Jetzt verstehe ich aber nicht, warum dann ein reelles Fundamentalsystem durch $\begin{eqnarray} \left\{ e^{x},xe^{x},\sin(2x),\cos(2x)\right\} \end{eqnarray}$ gegeben ist. Besser gesagt, 3 von den 4 Komponenten sind mir klar...nur ich verstehe nicht, wie ich auf sin(2x) komme... cos(2x) entsteht ja wegen: $\begin{eqnarray} e^{2ix} = \cos(2x) + i \cdot \sin(2x) \end{eqnarray}$ und weil ich den imaginären Teil wegfallen lassen muss, weil ich ja ein reelles Fundamentalsystem nach der Aufgabenstellung bestimmen muss... Würde ich das ganze jedoch jetzt für $\begin{eqnarray} e^{-2ix} = \cos(-2x) + i \cdot \sin(-2x) \end{eqnarray}$ machen, würde ich auf cos(-2x) kommen, rauskommen muss aber sin(2x). Kann mir vll jemand helfen und sagen, wo sich mein Fehler versteckt? Danke.
09.09.2011, 12:01	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Gucken wir uns mal die beiden Graphen von $\begin{eqnarray} \cos(2x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos(-2x) \end{eqnarray}$ an: Fällt dir was auf?
09.09.2011, 13:19	gretaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fällt mir wohl was auf, aber ich habe ja cos(-2x) rausbekommen und es müsste sin(2x) rauskommen...Und das sind doch 2 unterschiedliche Graphen?! (cos(2x) ist ja leider nicht das gleiche wie sin(2x))
09.09.2011, 13:24	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, jetzt ist mir klarer, was du möchtest. $\begin{eqnarray} e^{2ix} = \cos(2x) + i \cdot \sin(2x) \end{eqnarray}$ . Das ist eine komplexe Zahl, eine Linearkombi aus zwei reellen Zahlen. Was ist in diesem Ausdruck reell? Der Cosinus und der Sinus.
09.09.2011, 13:43	gretaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay, jetzt ist mir das ganze klar geworden... Aus i-welchen Gründen dachte ich, dass der sin auch wegfällt, weil das i wegfällt, wenn ich jetzt aber so drüber nachdenke, ist ja total der Quatsch... Danke für die schnelle Antwort, habs geschnallt!

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