Orthogonalbasis aus 2x2 Matrizen

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09.09.2011, 10:27	Blattlaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalbasis aus 2x2 Matrizen Meine Frage: Hallo Die Aufgabe lautet wie folgt: V ist der reelle Vektorraum der 2x2 Matrizen. Man hat die Bilinearform gegeben durch <A,B> = Spur(AB). Dann soll die Matrix dieser Bilinearform bestimmt werden bez. der Standardbasis (das wären ja dann vier 2x2 Matrizen). Dies habe ich getan und eine 4x4 Matrix erhalten. Doch jetzt soll ich eine Orthogonalbasis bez. dieser Bilinearform finden. Müssten diese demnach auch wieder aus vier 2x2 Matrizen bestehen? Und wie finde ich die? Meine Ideen: Meine einzige Idee wäre es, die drei 2x2 Matrizen von der Standardbasis zu nehmen, die orthogonal zueinander sind. Die vierte müsste dann noch durch irgendeine andere 2x2 Matrix ersetzt werden, aber keine Ahnung wie ich die finden könnte. Kann mir jemand weiterhelfen? Ich bin es nur gewohnt, Basen in Form von Eigenvektoren zu finden und die dann zu orthogonalisieren bzw. orthonormalisieren. Danke
09.09.2011, 10:31	Eric_09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalbasis aus 2x2 Matrizen Du kennst doch die Standardbasis der 2x2 Matrizzen oder? Es sind 4 Matrizzen. Du kennst doch auch das Verfahren von Gram-Schmidt!
09.09.2011, 10:38	Blattlaus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalbasis aus 2x2 Matrizen Kann man den das Verfahren auch auf 2x2 Matrizen anwenden? Ich hab da aber ein Problem: Für <A,B> muss ich ja die Spur(AB) ausrechnen. Nehme ich jetzt den Standardvektor, welcher oben rechts eine 1 hat und die restlichen Einträge Nullen sind. Dann ist die Spur(BB)=0 und somit hat es im Gram Schmidt-Verfahren eine 0 im Nenner :-S
09.09.2011, 10:44	Blattlaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder ist das so gemeint, dass ich die 2x2 Matrix als 1x4 Vektor schreibe und im Gram Schmidt-Verfahren das Standardskalarprodukt gemeint ist? Dann würde das Verfahren wieder einen neuen 1x4 Vektor rausspucken und am Ende wandle ich diesen wieder in eine 2x2 Matrix um. Ist so was zulässig? :-S
09.09.2011, 10:57	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Skalarprodukt beider Matrizen soll die Spur des Matrixproduktes sein, also $\begin{eqnarray} A \cdot B=Spur \left [ \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{pmatrix}\right ]=a_1b_1+a_2b_3+a_3b_2+a_4b_4 \end{eqnarray}$ Interpretiere die Matrizen A, B als Vierervektoren $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4\end{pmatrix}=\vec a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end{pmatrix}=\vec b \end{eqnarray}$ Dann kann man das obige Skalarprodukt der beiden Matrizen als Bilinearform der beiden Vierervektoren darstellen: $\begin{eqnarray} \vec a \cdot \vec b=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & & & \\ & & 1& \\ & 1 & & \\&&& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end{pmatrix}=a_1b_1+a_2b_3+a_3b_2+a_4b_4 \end{eqnarray}$
09.09.2011, 11:20	Blattlaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, bis dahin verstehe ich, wie du das gemacht hast und dass ich die 2x2 Matrizen darf bzw in 1x4 Vektoren umwandel muss, um die Bilinearform auszudrücken. Aber jetzt muss ich noch die Einträge der vier Basisvektoren rausfinden und das mache ich doch mit dem Gram Schmidt-Verfahren, wobei die Standardbasisvektoren in orthogonale Vektoren umgewandelt werden, oder? Dann bleibt für mich immer noch die Frage offen, ob ich im Gram Schmidt-Verfahren das Standardskalarprodukt nehmen muss oder ob auch dort gelten muss <A,B>=Spur(AB)???
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09.09.2011, 11:21	Eric_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leute, das Gramschmidt beinhaltet ja nur eine Formel mit Skalarprodukt und Norm. Da muss man jetzt nicht unbedingt auf den $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ ausweichen. Du kannst die Formel wortwörtlich mit den Matrizen durchziehen! 2x2-Matrizen sind auch Vektoren, d.h. aber nicht zwangsläufig, dass man immer auf ein $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$
09.09.2011, 11:52	Blattlaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Problem ist aber immer noch dasselbe, egal ob ich jetzt mit 1x4 Vektoren oder 2x2 Matrizen rechne: Im Verfahren muss man ja v2= w2 - <v1,w2>/<v1,v1>*v1 rechnen. Wenn ich jetzt bei <v1,v1>=Spur(v1v1) die Standardbasis (0,1,0,0) einsetze (oder als 2x2 Matrix geschrieben), dann erhalte ich <v1,v1>=0. Was bedeutet, dass ich im Nenner eine 0 hätte, was ja nicht erlaubt ist. Deshalb frage ich mich, ob ich da etwas falsch verstanden habe und gar nicht <v1,v1>=Spur(v1v1) gilt, sondern das Standardskalarprodukt mit <v1,v1>=1??? Falls keines der beiden zutrifft, wäre ich froh, wenn mir jemand vielleicht die orthogonalbasis angeben könnte, dann könnte ich es versuchen nachzurechnen.
09.09.2011, 11:53	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss natürlich nicht den $\begin{eqnarray} R^4 \end{eqnarray}$ zu betreten, sondern kann im Matrizen-Raum bleiben und die 2x2-Matrizen dort bezüglich der kanonischen Basis darstellen, also $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}=a_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+a_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+a_3 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\1 & 0 \end{pmatrix}+a_4 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{pmatrix}=b_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+b_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+b_3 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\1 & 0 \end{pmatrix}+b_4 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da der Matrizen-Raum aber die Dimension 4 hat, kommt man bezüglich der obigen Basis letztendlich auf das gleiche Skalarprodukt, wie ich zuerst geschrieben habe.
09.09.2011, 12:05	blattlaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie komme ich von dieser Basis zu einer orthogonalen Basis?
09.09.2011, 12:24	Eric_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dann fang ich mal an. $\begin{eqnarray} v_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, v_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist die Standardbasis. Diese ist noch nicht orthonormal bzgl dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray} <A,B> = Spur(A^T B) \end{eqnarray}$ . oder meintest du wirklich Spur(A B) ? Jetzt Gram-Schmidt: $\begin{eqnarray} w_1 := \frac{1}{\\|v_1\\|} v_1 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \\|v_1 \\| = \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} = \sqrt{Spur \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} \end{eqnarray}$ Jetzt berechne den Konkreten Wert und du hast $\begin{eqnarray} w_1 \end{eqnarray}$ . Weiter gehts dann mit der Iteration $\begin{eqnarray} u_{k+1} = v_{k+1} - \sum_{j=1}^k w_j \langle w_j, v_{k+1} \rangle \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_{k+1} = \frac{1}{\\|u_{k+1}\\|} u_{k+1} \end{eqnarray}$
09.09.2011, 13:16	Blattlaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich meinte tatsächlich Spur(AB) und nicht $\begin{eqnarray} Spur(A^T B) \end{eqnarray}$ und eigentlich suche ich nur eine orthogonal Basis und nicht eine orthonormal Basis, aber da eine orthonormal Basis natürlich auch orthogonal ist, ist das ja egal. Ich dachte immer, die Standardbasis sähe so aus: $\begin{eqnarray} v_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, v_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Weshalb nimmst du 4x den gleichen?
09.09.2011, 14:09	Eric_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, habe nach dem Kopieren nicht mehr die Einträge abgeändert

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