Dualräume

09.09.2011, 16:33	greekm812	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualräume Meine Frage: Hey Leute, hab die totalen Probleme mit Dualräumen ... Warum auch immer Ich will nicht schnallen ... kann mir jem. helfen. Danke schonmal Meine Ideen: .
09.09.2011, 16:45	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja könnte ich, du musst aber schon etwas Konkreter werden, Dualräume sind von der Definition her recht einfach, bieten aber eine Fülle an Möglichkeiten. Zur Definition. Es sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein normierter $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ -Vektorraum. Dann heißt $\begin{eqnarray} V':=\{f:V\to\mathbb K\ \| f \text{ linear und stetig} \} \end{eqnarray}$ Dualraum von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$
09.09.2011, 16:54	greekm812	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, da hast du Recht ich hätte wirklich etwss konkreter werden müssen. Also ein Dualraum ist die Menge aller Linearen Abbildungen , das heisst dieser Unterraum besitzt lineare Abbildungen als Elemente??? Hab ich das richtig verstanden??? Wenn ja, wäre es cool wenn du n Beispiel hättest für mich , wenn nicht auch nicht schlimm... Viel wichtiger ist es für mich noch die duale Basis zu verstehen , bei Wikipedia versteh ich das iwie nicht , sry wenn ich dich überfordere für dich sind die Fragen wahrscheinlich recht trivial. und Danke
09.09.2011, 17:31	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Definition sagt ja schon alles aus. Ein Dualraum ist ein eigenständiger Vektorraum der alle Funktionen enthält, vom zu Grunde liegende VR $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ in den dessen zu Grunde liegenden Körper $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ abbilden und dazu noch linear und stetig sind. Ein Beispiel. Hmm einen ganzen Dualraum vollständig anzugeben ist direkt nach der Definition nicht ganz trivial. Es ist auch nur selten entscheidend, alle Elemente daraus zu kennen, sondern zu wissen, dass ein Element im Dualraum ist und was es deswegen für Eigenschaften hat. Schauen wir uns also mal ein Element aus einem Dualraum an. Nehmen wir mal als zu Grunde liegenden VR den $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ und betrachten die Funktion $\begin{eqnarray} T:\mathbb R^2\to \mathbb R, \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\mapsto x_1+x_2 \end{eqnarray}$ Diese ist offensichtlich linear und auch stetig. Und aus diesem Grund ist diese Funktion ein Element des Dualraums von $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ den man dann als $\begin{eqnarray} (\mathbb R^2)' \end{eqnarray}$ bezeichnet. Das ist nur ein ganz ganz einfaches Beispiel. Interessant wird es dann erst in der Anwendung, wenn man sich die Dualräume von Funktionenräumen anschaut, also mit Funktionen von Funktionen arbeitet, die in den ursprüunglichen Körper abbilden. Bei der dualen Basis handelt es sich einfach um aus Basisvektoren des VR gewonnene Basis des Dualraums (zumindest erstmal im endlich dimensionalen).

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