Quadratische Ungleichungen

09.09.2011, 17:46	Ascareth	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Ungleichungen Hallo, folgende 2 Beispiele sind gegeben. Warum ist da die beiden Seiten einmal oder, und einmal und verknüpft: $\begin{eqnarray} x^2+2x-3 > 0 \quad mit \quad \mathbb G = \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x > -1 + \sqrt[]{1^2+3} \quad \lor \quad x < -1 - \sqrt[]{1^2+3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x > -1 + 2 \quad \quad \quad \quad \lor \quad x < -1 - 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x > 1 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \lor \quad x < -3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb L=\{x \in \mathbb R \| x > 1 \lor x < -3\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2+x+6 < 0 \quad mit \quad \mathbb G= \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x < 0,5 + \sqrt[]{0,5^2+6} \quad \land \quad x > 0,5 - \sqrt[]{0,5^2+6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x < 0,5 + 2,5 \quad \quad \quad \quad \land \quad x > 0,5 - 2,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x < 3 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \land \quad x > -2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb L=\{x \in \mathbb R\|x < 3 \land x > -2\}=\{x \in \mathbb R\|-2<x<3\} \end{eqnarray}$ Gerechnet wird hier mit der pq-Formel, bzw. quadratischer Ergänzung. Die Lösungsmengen sind mir allerdings etwas unklar, und auch die Verknüpfungen im allgemeinen. Warum einmal oder und einmal und? Die 2. Lösungsmenge ist außerden noch in Form eines offenen Intervalls angegeben. Warum die erste nicht? Der Bereich zwischen den beiden Nullstellen einer quadratischen Gleichung läßt sich doch immer in Form eines Intervalls angeben. Außer natürlich es liegt eine doppelte Nullstelle vor, oder eben eine leere Lösungsmenge. Gruß, Asca
09.09.2011, 17:56	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Stellt dir das mal auf dem Zahlenstrahl vor: Einmal ist die Lösungsmenge z.B. das Intervall $\begin{eqnarray} (5,1\ ;\ 8,1) \end{eqnarray}$ (also für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 5.1 < x < 8.1 \end{eqnarray}$ - es gilt UND) und bei einer anderen Gleichung ist die Lösungsmenge vielleicht $\begin{eqnarray} \mathbb R \setminus [5,1 \ ; \ 9,9] \end{eqnarray}$ . Dann gilt die Gleichung nur in diesem Bereich nicht, ansonsten auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , also entweder ist x kleiner als 5,1 oder größer als 9,9.
09.09.2011, 18:07	Ascareth	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs eben einfach mal geplottet, habs verstanden. Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe
09.09.2011, 18:18	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne, am Plot kann man übrigens genau das ablesen, was ich mit Zahlenstrahl erklärt habe [attach]21085[/attach] (Werte [Nullstellen von g] geschätzt - dient nur als Skizze)
13.09.2011, 15:58	Ascareth	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte jetzt doch noch mal eine Frage dazu: $\begin{eqnarray} f_{(x)}=x^3+x^2-x-1 \end{eqnarray}$ ist gegeben. Es geht jetzt um die Monotonieintervalle. Es heißt: $\begin{eqnarray} f'_{(x)} > 0 = sms \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'_{(x)} < 0 = smf \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'_{(x)} \geq 0 = ms \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'_{(x)} \leq 0 = mf \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'_{(x)}=3x^2-2x-1 \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt einfach den 1. Fall annehme und einsetze und ausrechne: $\begin{eqnarray} 3x^2-2x-1 > 0 \Leftrightarrow x^2-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3} > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x > -\frac{1}{3}+\sqrt[]{\frac{1}{9}+\frac{3}{9}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x > -\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x > \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x < -\frac{1}{3}-\sqrt[]{\frac{1}{9}+\frac{3}{9}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x < -\frac{1}{3}-\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x < -1 \end{eqnarray}$ Dann bekomme ich heraus: $\begin{eqnarray} \mathbb L=\{x < -1 \lor x > \frac{1}{3}\} \end{eqnarray}$ In Intervallen ausgedrückt also: $\begin{eqnarray} I_{1}=(- \infty:-1) \quad I_{2}=(-1:\frac{1}{3}) \quad I_{3}=(\frac{1}{3}:+ \infty) \end{eqnarray}$ Für I1 also sms, I2 = smf, I3 = sms Ist das mit der Ungleichung so richtig gelöst? Ich finde das ziemlich befremdlich. Kann man da nicht einfach direkt die Nullstellen über die pq Form berechnen?
13.09.2011, 16:37	Ascareth	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht noch eine kleine Ergänzung: Bei der Anwendung der pq-Formel, ist doch + immer die weiter rechte Stelle, und - die weiter links liegende stelle oder?
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13.09.2011, 18:02	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, denn durch Addition von dem Wurzelausdruck wird der Wert ja größer, durch Subtraktion kleiner.

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