Logarithmische Gleichungen

09.09.2011, 18:13

Epikurus

hallo liebe Leute,
habe probleme beim lösen einer logarithmischen Gleichung.

2^(x+1) = 2^(x) + 3^(x)

Also meine Überlegung war ich subtrahiere 2^(x) um dann auch 2^(x) herauszuheben:

Stimmt dieser erste schritt?
2^(x) * (2-1) = 3^(x)

Edit: Bitte hänge dich mit deiner Frage nicht an einen alten Thread an, sondern erstelle einen neuen. LG Iorek

09.09.2011, 18:35

Q-fLaDeN

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Stimmt.

09.09.2011, 18:36

Elvis

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Stimmt soweit. Übrigens ist 2-1=1 Augenzwinkern

09.09.2011, 18:49

Epikurus

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oh, danke soweit

also als nächstes würdes ich so weitermachen:

2^(x) * (1) = 3^(x) /:2^(x)

1= 3^(x) / 2^(x) / log

log 1 = x log 3 / x log 2

Aber mir deucht es sei falsch weil wie geh ich dann mit dem x im Nenner um?

obwohl wenn ich es so vor dem logarithmieren anschreibe (3/2)^x

bekomme ich 1,5^X raus
und wenn ich dann logarithmiere wird 1 zu 0 und dann kann ich mit x log 1,5 aber nichts mehr anfangen weil wenn ich diesen term trennen will eins der Glieder 0 im zähler hat.....
hmm... bitte helft mir...

09.09.2011, 18:55

Elvis

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Du hattest schon mal die Gleichung $\begin{eqnarray*} 2^x=3^x \end{eqnarray*}$ , diese kannst du logarithmieren. Was folgt daraus ?

09.09.2011, 18:59

René Gruber

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Ergänzend:

Zitat:

Original von Epikurus
1= 3^(x) / 2^(x) / log

log 1 = x log 3 / x log 2

Rechts verwendest du hier anscheinend die merkwürdige Regel $\begin{eqnarray*} \log \left( \frac{a}{b} \right) \stackrel{?}{=} \frac{\log(a)}{\log(b)} \end{eqnarray*}$ . verwirrt

Bitte ganz schnell aus dem Gedächtnis streichen und durch die richtige Variante $\begin{eqnarray*} \log \left( \frac{a}{b} \right) = \log(a)-\log(b) \end{eqnarray*}$ ersetzen. Lehrer

09.09.2011, 21:36

Epikurus

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danke für die antworten
aber wenn ich jetzt von

2^x=3^x ausgehe, so erhalte ich wenn ich logarithmiere

x log 2 = x log 3 und ab da is mir alles rätselhaft, da kommt nur blödsinn raus wenn ich das iwie versuch zu lösen.....

09.09.2011, 22:46

René Gruber

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Zitat:

Original von Epikurus
x log 2 = x log 3 und ab da is mir alles rätselhaft, da kommt nur blödsinn raus

Es kommt $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ heraus, was durchaus kein Blödsinn, sondern die einzige reelle Lösung deiner Gleichung ist.

10.09.2011, 12:19

Epikurus

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hm... ich weiß das ist eigentlich nicht der geist dieser seite aber magst du mir die rechnung einmal veranschaulicht darstellen?
so komm ich hoffentlich bei den anderen weiter.

10.09.2011, 13:02

Elvis

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Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x\cdot log2=x\cdot log3 \end{eqnarray*}$ ist der Schlüssel zum Erfolg. Jetzt kannst du etwas ganz Wichtiges lernen, wenn du möchtest, nämlich die sogenannte "Fallunterscheidung"

Annahme 1: $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann darfst du durch x dividieren. Was folgt daraus ?
Annahme 2: $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ . Was folgt daraus ?

10.09.2011, 13:41

Epikurus

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hm

x log2 = x log3

wird zu

log2= log3/x /*x

x log2= log 3 /: log2

x= 1,58

so hätte ich gerechnet aber es ist falsch...

10.09.2011, 13:51

Elvis

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Das ist falsch. unglücklich

Wenn du durch x teilen darfst, steht da $\begin{eqnarray*} log 2= log 3 \end{eqnarray*}$

10.09.2011, 13:57

Epikurus

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also dividiere ich durch log 2 ?

10.09.2011, 14:03

Elvis

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Nein, wozu denn ? Ist log 2= log 3 ?? oder nicht ???

10.09.2011, 14:19

Epikurus

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nein offensichtlich nicht.

also kann ich sofort daraus schließen dass x gleich 0 ist, oder?

10.09.2011, 14:21

Elvis

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Hurra. Welche Annahme führte zu der falschen Schlußfolgerung log2=log3 ? Das heißt, welche Annahme ist falsch ?

10.09.2011, 14:36

Epikurus

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Die Annahme dass ich hier weiterrechnen dürfe?

10.09.2011, 14:39

Elvis

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Nein. Ich habe vorhin versucht, dir den Begriff "Fallunterscheidung" beizubringen. Lies nochmal nach.

10.09.2011, 15:34

Epikurus

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x != 0

ist die falsche Annahme?

10.09.2011, 15:40

René Gruber

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Ich greife hier mal ein, weil mir die Sache in eine etwas merkwürdige Richtung (Fallunterscheidungen?) zu steuern scheint...

Logarithmus hin oder her, $\begin{eqnarray*} x\cdot \log 2 = x\cdot \log 3 \end{eqnarray*}$ ist doch eine einfache lineare Gleichung, die man so löst, wie man solche linearen Gleichungen eben löst:

1.Zusammenfassen der einzelnen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Terme:

$\begin{eqnarray*} 0 = x\cdot \log 3 - x\cdot \log 2 = x\cdot (\log 3 - \log 2) \end{eqnarray*}$

2.Division durch den $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Vorfaktor, das ist hier der Faktor $\begin{eqnarray*} \log 3 - \log 2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

10.09.2011, 16:08

Epikurus

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comprendo.

Vielen vielen Dank, ich glaube es verstanden zu haben

probieren wir noch eine
2^(x) +5^(x)= 2^(x+2)

also bring ich zuerst 2^(x+2) auf die andere Seite und subtrahiere 5^(x) und hebe heraus oder?

2^(x) *( 2²) = -5^(x)

stimmt das soweit?

10.09.2011, 16:23

René Gruber

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Zitat:

Original von Epikurus
2^(x) *( 2²) = -5^(x)

Da hast du wohl links ein $\begin{eqnarray*} 1- \end{eqnarray*}$ in der Klammer vergessen:

$\begin{eqnarray*} 2^x \cdot \left( 1 - 2^2 \right) = -5^x \end{eqnarray*}$

Dann ist es richtig, obwohl es üblicher ist, die Umformungen so zu gestalten, dass man möglichst nur positive Faktoren stehen hat. Denn hier ist nun noch ein Vorzeichenwechsel (auf beiden Seiten!) vorzunehmen, bevor man das ganze logarithmieren darf.

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