Grenzwert ineinander-geschachtelter Quadratwurzeln

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09.09.2011, 19:04	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert ineinander-geschachtelter Quadratwurzeln Wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{2+\sqrt{2+ ... +\sqrt{2}}} \rightarrow 2 \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Quadratwurzeln folgendes soll dabei helfen $\begin{eqnarray} 2^m \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+ ... +\sqrt{2}}}} \rightarrow \pi \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} m \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Quadratwurzeln Als Hinweis steht in der Übung, dass ich es mit Hilfe von $\begin{eqnarray} 2^m \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ beweisen soll, finde aber keinen Ansatz. Es hängt mit dem $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ Eck zusammen welches gegen den Kreis strebt (in diesem Fall gegen den Einheitskreis). Wer kennt sich damit aus?
09.09.2011, 19:06	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} 2^m \cdot a_m \end{eqnarray}$ gegen einen endlichen Grenzwert (in dem Fall halt Pi) konvergiert, was muss denn dann für $\begin{eqnarray} a_m \end{eqnarray}$ gelten? Danach musst du nur noch gucken, wie genau hier dein $\begin{eqnarray} a_m \end{eqnarray}$ aussieht und dann ist alles klar.
09.09.2011, 19:15	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 2^m \end{eqnarray}$ geht ja definitive gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ dann darf $\begin{eqnarray} a_m \end{eqnarray}$ nicht gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ gehen sondern müsste immer kleiner werden?
09.09.2011, 19:19	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Für "müsste immer kleiner werden" gibt es ein präzises Wort Es ist doch in diesem Fall $\begin{eqnarray} 2^ma_m \end{eqnarray}$ konvergent, insbesondere also beschränkt: $\begin{eqnarray} 2^m\|a_m\|<C \end{eqnarray}$ für ein festes C. Jetzt musst du nur noch durch $\begin{eqnarray} 2^m \end{eqnarray}$ teilen und dann die richtigen Schlüsse ziehen.
09.09.2011, 19:28	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_m\rightarrow 0 \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} m\rightarrow \infty \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} 2^m\|a_m\|<C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|a_m\|<\frac{C}{2^m} \end{eqnarray}$ hmmm steh aufm Schlauch hatte mit folgendes überlegt $\begin{eqnarray} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+ ... +\sqrt{2}}}} \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} m \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \sqrt{2+\sqrt{2+ ... +\sqrt{2}}}\rightarrow 2 \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ desshalb ist $\begin{eqnarray} \sqrt{2-2}=0 \end{eqnarray}$
09.09.2011, 19:30	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{eqnarray} a_m \end{eqnarray}$ ist dann Nullfolge. Du musst deine letzten Überlegungen nur noch rückwärts aufziehen. Überlege dir nochmal genau, was du zeigen willst, und was dir gegeben ist. Du hast es eben nämlich gerade falschrum gemacht.
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09.09.2011, 19:40	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt{2+\sqrt{2+ ... +\sqrt{2}}}\rightarrow 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+ ... +\sqrt{2}}}} \rightarrow 0 \end{eqnarray}$
09.09.2011, 19:46	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe wohl den Faden verloren, was wäre denn an der Aussage der Beweis, dass es eben so und nicht anders ist, oder fehlt da noch etwas?
09.09.2011, 20:04	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn gilt $\begin{eqnarray} a^m\cdot a_m \rightarrow C \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} m\rightarrow \infty \end{eqnarray}$ dann muss gelten $\begin{eqnarray} a_m\rightarrow 0 \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} m\rightarrow \infty \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} a^m\rightarrow \infty \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} m\rightarrow \infty \end{eqnarray}$ dass heist $\begin{eqnarray} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+ ... +\sqrt{2}}}} \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} m \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ kann nur gelten wenn gilt $\begin{eqnarray} \sqrt{2+\sqrt{2+ ... +\sqrt{2}}}\rightarrow 2 \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$
09.09.2011, 20:28	Alive-and-well	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß das passt gerade nicht ganz aber handelt es sich hier nicht um eien rekursiv definierte Folge? Welche per Monotoniekerterium recht gut bearbeitet werden kann?

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