Infimum

10.09.2011, 00:20

https://mathe

Infimum

Meine Frage:
Hi, ich habe wieder was an meinem Buch zu bedenken:

es wird an folgendem Beispiel versucht zu zeigen, dass das Infimum nicht immer zur Menge gehören muss:

Folgende Menge wird betrachtet:
$\begin{eqnarray*} B:= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R :0<x\leq 1 \end{eqnarray*}$ }

Dazu steht dann folgendes:

Es sind alle Elemente aus R, die zwischen 0 und 1 liegen (eigentlich ja die 1 auch....., das ist jetzt aber weniger das Problem^^).
Man sieht sofort, dass diese Menge nach unten durch Null beschränkt ist.

Jetzt kommt der Hammer:

Es ist sogar die größte untere Schranke, also das Infimum (WAAAS??? Ich dachte wir sprechen von den reellen Zahlen, und wir wissen doch, dass eine Schranke als kleiner gleich jedem x der jeweiligen Teilmenge, und nicht KLEINER definiert ist. Demnach gibt es doch noch ein x, welches in der Teilmenge liegt und das dabei auch kleiner gleich jedem anderen x ist).

Habe ich recht oder das Buch xD?

Meine Ideen:
s.o.

10.09.2011, 01:40

Math1986

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RE: Infimum

Zitat:

Original von https://mathe
Jetzt kommt der Hammer:

Es ist sogar die größte untere Schranke, also das Infimum (WAAAS??? Ich dachte wir sprechen von den reellen Zahlen, und wir wissen doch, dass eine Schranke als kleiner gleich jedem x der jeweiligen Teilmenge, und nicht KLEINER definiert ist. Demnach gibt es doch noch ein x, welches in der Teilmenge liegt und das dabei auch kleiner gleich jedem anderen x ist).

Habe ich recht oder das Buch xD?

Das Buch hat Recht.
Wenn $\begin{eqnarray*} x< m \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \forall m\in M \end{eqnarray*}$ gilt, dann gilt automatisch auch $\begin{eqnarray*} x\leq m \end{eqnarray*}$ .
Das Infimum muss, wie im Buch gesagt, nicht notwendig selbst in der Menge liegen.

10.09.2011, 01:51

https://mathe

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Zitat:

Das Buch hat Recht. Wenn für gilt, dann gilt automatisch auch . Das Infimum muss, wie im Buch gesagt, nicht notwendig selbst in der Menge liegen.

du hast mich falsch verstanden...

Wir sprechen von den reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x:0<x\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

In dieser Menge liegt eine kleinste reelle Zahl >0. Warum ist diese Zahl nicht zugleich das Infimum? Dies würde die Definition kleiner gleich doch zulassen.

Edit:

Vielleicht weil es keine kleinste reelle Zahl >0 gibt? Denn wäre es eine reelle Zahl, so könnte man sie durch 2 teilen, und diese Zahl wäre wiederum kleiner als die vorhin angenommene kleinste Zahl. Aber wir sprechen ja vom Körper R, deshalb muss die größtmögliche untere Schranke 0 sein. Diese liegt ja aber nicht in unserer Teilmenge...

10.09.2011, 11:06

Math1986

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Zitat:

Original von https://mathe
Vielleicht weil es keine kleinste reelle Zahl >0 gibt? Denn wäre es eine reelle Zahl, so könnte man sie durch 2 teilen, und diese Zahl wäre wiederum kleiner als die vorhin angenommene kleinste Zahl. Aber wir sprechen ja vom Körper R, deshalb muss die größtmögliche untere Schranke 0 sein. Diese liegt ja aber nicht in unserer Teilmenge...

Ja, richtig

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