Komplexe Zahlen (sechste Wurzel aus i ?)

10.09.2011, 03:05

ai0501

Komplexe Zahlen (sechste Wurzel aus i ?)

Hallo

aufgabe lautet: $\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{i} \end{eqnarray*}$

mein ansatz:

ich brauche r und phi

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{{x^{2} }+{y^{2}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{{0^{2} }+{1^{2}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$

um $\begin{eqnarray*} phi \end{eqnarray*}$ auszurechnen brauche ich das:
$\begin{eqnarray*} phi=\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ aber da mein x=0 ist kann ich ja durch 0 nicht teilen und somit komme ich nicht weiter unglücklich

ohne $\begin{eqnarray*} phi \end{eqnarray*}$ kann ich diese formel $\begin{eqnarray*} Z_{0}=\sqrt[n]{r} * (cos(\frac{phi}{n})+i* sin(\frac{phi}{n}) \end{eqnarray*}$ nicht nutzen

gibt es da einen trick?

10.09.2011, 09:11

ollie3

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RE: Komplexe Zahlen (sechste Wurzel aus i ?)
Hallo , bei dir haben sich ein paar fehler eingeschlichen. Dein ansatz ist richtig,
aber die gleichung phi = y durch x nicht mehr. Es muss heissen cos von phi
gleich y durch r, dann stimmts, und dann müsste man zu phi = 90 grad kommen.
Na, klingelts bei dir?

10.09.2011, 09:12

Christian_P

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frag mich nicht wie man darauf kommt Idee!

das große Problem ist, dass das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ unter einer 6ten Wurzel liegt,
ich kenne auch keinen Weg, wie man das auflösen könnte,
da müsste ein Experte ran.

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right)+\left(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}- \frac{1}{2 \sqrt{2}}\right)\cdot i \end{eqnarray*}$

10.09.2011, 09:15

Christian_P

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Das wäre der Näherungswert

$\begin{eqnarray*} 0.965925 + 0.258819 \cdot i \end{eqnarray*}$

10.09.2011, 13:39

mYthos

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Zitat:

Original von Christian_P
frag mich nicht wie man darauf kommt Idee!

das große Problem ist, dass das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ unter einer 6ten Wurzel liegt,
ich kenne auch keinen Weg, wie man das auflösen könnte,
...

Nun, sehr hilfreich ist diese Antwort nicht.

Zitat:

Original von Christian_P
Das wäre der Näherungswert

$\begin{eqnarray*} 0.965925+0.258819 \cdot i \end{eqnarray*}$
...

Das ist aber nur eine der 6 Lösungen (innerhalb der ersten 4 Quadranten).
Wo liegen die anderen?
Man muss diese Zahlenwerte auch gar nicht schreiben, es genügt

$\begin{eqnarray*} z_k = e^{j(\frac{\pi} {12} + k \cdot \frac {\pi} 3)} = \cos (\frac{\pi} {12} + k \cdot \frac {\pi} 3) + j \cdot \sin (\ldots) \ ; \ \ k = \ldots \end{eqnarray*}$

Edit: Schreibfehler berichtigt.

mY+

10.09.2011, 14:39

René Gruber

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Diesmal MIT Worten...

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} z_k = e^{j(\frac{\pi} {12} + k \cdot \frac {\pi} 6)} = \cos (\frac{\pi} {12} + k \cdot \frac {\pi} 3) + j \cdot \sin (\ldots) \ ; \ \ k = \ldots \end{eqnarray*}$

Hiermit sei untertänigst angemerkt, dass im Mittelabschnitt ein kleiner Schreibfehler vorzuliegen scheint: Da sollte wohl stehen

$\begin{eqnarray*} e^{j\left(\frac{\pi}{12} + k \cdot \frac{2\pi}{6}\right)} \end{eqnarray*}$ oder vielleicht auch $\begin{eqnarray*} e^{j\left(\frac{\pi}{12} + k \cdot \frac{\pi}{3}\right)} \end{eqnarray*}$ ,

beim Übergang zur trigonometrischen Schreibweise stimmt es ja dann wieder. Wink

10.09.2011, 14:43

mYthos

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Danke für die freundliche Aufmerksamkeit!
Der Schreibfehler wird berichtigt.

mY+

11.09.2011, 12:58

ai0501

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RE: Komplexe Zahlen (sechste Wurzel aus i ?)

Zitat:

Original von ollie3
[...]Es muss heissen cos von phi
gleich y durch r, dann stimmts, und dann müsste man zu phi = 90 grad kommen.
Na, klingelts bei dir?

Danke dir...cos von phi und sin von phi waren mir nicht bekannt!

Zitat:

Original von mYthos
Das ist aber nur eine der 6 Lösungen (innerhalb der ersten 4 Quadranten).
Wo liegen die anderen?

Jetzt kann mich auch an die anderen Lösungen ran machen, wenn was melde mich. DANKE

11.09.2011, 15:52

Christian_P

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Zum Verständnis:
Ich bin bissher immer davon ausgegangen,
dass eine komplexe Zahl eindeutig bestimmt ist.

Wenn ich mir den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{i} = \sqrt[12]{-1} \end{eqnarray*}$ anschaue, denke ich,
dass es sich dabei um eine eindeutig bestimmte Zahl handelt.

Warum ist dies nicht der Fall?

11.09.2011, 16:06

ollie3

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hallo christian,
das liegt natürlich daran, das eine algebraische gleichung 6. grades im komplexen
6 lösungen hat, wenn man sie entsprechend ihrer vielfachheit zählt.

11.09.2011, 16:15

Christian_P

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Welche Gleichung entspäche denn der 6ten Wurzel aus i ?

11.09.2011, 16:21

ollie3

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hallo christian,
natürlich die gleichung z hoch 6 = i, hatte vergessen, das dazu zu schreiben.

11.09.2011, 16:34

Christian_P

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$\begin{eqnarray*} z^6=i \end{eqnarray*}$

aaaah ja,
hatte mich schon gewundert warum es mehrere Lösungen gibt.
Wie man sie ausrechnet weis ich zwar nicht, aber es macht sinn smile

12.09.2011, 09:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von Christian_P
Wenn ich mir den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{i} = \sqrt[12]{-1} \end{eqnarray*}$ anschaue, denke ich,
dass es sich dabei um eine eindeutig bestimmte Zahl handelt.

Irrtum. Nicht mal $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ ist in den komplexen Zahlen eindeutig bestimmt. smile

Bleibt noch die Frage, ob das Schulmathe ist?

12.09.2011, 16:37

mYthos

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Ich würde es (noch) dabei belassen.
Über das Wurzelproblem an sich wurde an anderer Stelle (hierboards) schon viel geschrieben.

mY+

12.09.2011, 17:09

Christian_P

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Ist es Schulmathe?
Eventuell im Lehrplan Leistungskurs Mathematik 12.Klasse ? smile

12.09.2011, 17:49

mYthos

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Zitat:

Original von Christian_P
...
Wie man sie ausrechnet weis ich zwar nicht, aber es macht sinn smile

Das wurde doch in dem Thread hier erklärt:

Zitat:

Original von mYthos
...
Das ist aber nur eine der 6 Lösungen (innerhalb der ersten 4 Quadranten).
Wo liegen die anderen?
Man muss diese Zahlenwerte auch gar nicht schreiben, es genügt

$\begin{eqnarray*} z_k = e^{j(\frac{\pi} {12} + k \cdot \frac {\pi} 3)} = \cos (\frac{\pi} {12} + k \cdot \frac {\pi} 3) + j \cdot \sin (\ldots) \ ; \ \ k = \ldots \end{eqnarray*}$
...

Schulmathe kann es durchaus sein, es kommt natürlich auf den Schultyp an. In der HS ist's ja auch nicht verkehrt. Bei solchen Grenzfällen muss man ja den Thread nicht verschieben.

mY+

13.09.2011, 17:32

Christian_P

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Gibt es eine anschauliche Darstellung wie bei den Einheitswurzeln,
die als Ecken eines n-Ecks mit dem Umkreisradius 1
dargestellt werden können?

13.09.2011, 19:45

Elvis

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Ja, das gibt es. Beachte $\begin{eqnarray*} i^{1/6}=(-1)^{1/12}=\zeta =\zeta^{25}\Rightarrow \zeta^6=(\zeta^5)^6=(\zeta^9)^6=(\zeta^{13})^6=(\zeta^{17})^6=(\zeta^{21})^6=i \end{eqnarray*}$

Also: die 6. Wurzeln aus i liegen auf dem Einheitskreis und bilden ein gleichseitiges Sechseck.

14.09.2011, 12:55

Christian_P

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danke
kann ich nicht ganz nachvollziehen, sieht aber schön aus smile

$\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ ist die Einheitswurzel, richtig?

14.09.2011, 18:39

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ ist eine 6. Wurzel aus i, also eine 12. Wurzel von -1, also eine 24. Wurzel von 1 .
Für das bessere Verständnis kannst du die Exponenten vertauschen, z.B. $\begin{eqnarray*} (\zeta^5)^6=(\zeta^6)^5=i^5=i^4\cdot i=1\cdot i=i \end{eqnarray*}$ .
Genau auf diese Weise habe ich die sechs verschiedenen 6. Wurzeln aus i gefunden. Immer 4 im Exponenten addieren gibt den Faktor $\begin{eqnarray*} \zeta^{24}=i^4=1 \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} (\zeta^4)^6=\zeta^{24}=1 \end{eqnarray*}$ . Von einer zur anderen 6. Wurzel aus i kommt man durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \zeta^4 \end{eqnarray*}$ , deshalb liegen diese Wurzeln auf einem regelmäßigen Sechseck. Weil sie alle den Betrag 1 haben liegen sie auf dem Einheitskreis. Offensichtlich gehören sie alle zu den 24. Einheitswurzeln.

04.12.2011, 00:58

Heinrich001

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Zitat:

Original von mYthos

Man muss diese Zahlenwerte auch gar nicht schreiben, es genügt

$\begin{eqnarray*} z_k = e^{j(\frac{\pi} {12} + k \cdot \frac {\pi} 3)} = \cos (\frac{\pi} {12} + k \cdot \frac {\pi} 3) + j \cdot \sin (\ldots) \ ; \ \ k = \ldots \end{eqnarray*}$

Hallo,

ich sitze an der Aufgabe z³=i und würde mich sehr freuen, wenn du mir den Schritt an dieser Stelle etwas näher erläutern würdest. Die 12 und die 3 im Nenner kann ich nicht nachvollziehen. Das hat scheinbar was mit den 60° zu tun, aber sicher bin ich mir da nicht. SItze schon seit 2 Stunden an der Aufgabe und es geht einfach nicht voran. Ich muss dazu sagen, dass das auch meine erste Einheitswurzel Aufgabe ist.

Dankeschön im voraus

04.12.2011, 01:58

mYthos

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Das war eine andere Aufgabe als deine neue Frage. Bei der 6.Wurzel muss der Anfangswinkel (der Winkel des gegebenen Zeigers) durch 6 geteilt werden und danach die 6 Lösungen im Abstand von 2pi/6 = pi/3 erstellt werden. Der Anfangswinkel bei i ist eben pi/2 (90°), dessen 6. Teil daher pi/12.

Analog geht das bei der 3. Wurzel, das beginnt bei (pi/2)/3 = pi/6 und geht weiter in Schritten von 2pi/3

mY+

04.12.2011, 15:17

Heinrich001

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@mYthos

Vielen vielen Dank für die schnelle Antwort. D.h. das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ mir den Anfangswinkel vorgibt und ich dann nur noch durch die dementsprechenden Wurzel teilen muss. Eventuell kann mir noch jemand sagen, ob meine Berechnungen richtig sind?

$\begin{eqnarray*} z_k = \sqrt[n] {|a|} * e^{i*(\frac{\alpha}{n}+\frac{k*2*\pi}{n})} \Rightarrow z_0 = \sqrt[3] {3} * e^{i*(\frac{\pi}{6}+\frac{0*2*\pi}{3})} = \frac{1}{2} ( i + \sqrt{3}) \Rightarrow z_1 = \sqrt[3] {3} * e^{i*(\frac{\pi}{6}+\frac{1*2*\pi}{3})} = \frac{1}{2} ( i - \sqrt{3}) \Rightarrow z_2 = \sqrt[3] {3} * e^{i*(\frac{\pi}{6}+\frac{2*2*\pi}{3})} = -i \end{eqnarray*}$

04.12.2011, 23:52

mYthos

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Was macht die 3. Wurzel aus 3 vor der e-Potenz?
Ohne diese wären die Resultate richtig.

mY+

05.12.2011, 08:28

Heinrich001

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Ohh sorry war ein Tippfehler von mir, denn ich durchkopiert habe.

Eigentlich muss da eine 1 stehen, weil r=1 bzw. |a|=1

$\begin{eqnarray*} z_k = \sqrt[n] {|a|} * e^{i*(\frac{\alpha}{n}+\frac{k*2*\pi}{n})} \Rightarrow z_0 = \sqrt[3] {1} * e^{i*(\frac{\pi}{6}+\frac{0*2*\pi}{3})} = \frac{1}{2} ( i + \sqrt{3}) \Rightarrow z_1 = \sqrt[3] {1} * e^{i*(\frac{\pi}{6}+\frac{1*2*\pi}{3})} = \frac{1}{2} ( i - \sqrt{3}) \Rightarrow z_2 = \sqrt[3] {1} * e^{i*(\frac{\pi}{6}+\frac{2*2*\pi}{3})} = -i \end{eqnarray*}$

05.12.2011, 08:46

Heinrich001

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Jetzt steh ich etwas auf dem Schlauch..... bei z³=i war der winkel ja sofort klar, aber wie sieht dass denn bei dieser Aufgabe aus? Wie bestimme ich da den Winkel?

$\begin{eqnarray*} z = (\frac{\sqrt[] {2}}{2}+\frac{1}{2}i)^{11} \end{eqnarray*}$

05.12.2011, 10:41

mYthos

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Denke an die trigonometrische Darstellung:

$\begin{eqnarray*} a + bi = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) \ \text{mit} \ r = \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$

mY+

05.12.2011, 23:34

Heinrich001

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Vielen Dank für den Hinweis, aber leider werde ich da nicht so ganz schlau draus.

Ich stehe eigentlich noch immer vor dem selben Problem:

$\begin{eqnarray*} z^{11} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} i r=\sqrt{x^{2}+ y^{2} } = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}} = 1,09868 z_{k}=\sqrt[n]{r} * (cos(\frac{k*2*\pi}{n}+\frac{\varphi}{n} )+i* sin(\frac{k*2*\pi}{n}+\frac{\varphi}{n} )) z_{k}=\sqrt[11]{1,09868} * (cos(\frac{k*2*\pi}{11}+\frac{\varphi}{11} )+i* sin(\frac{k*2*\pi}{11}+\frac{\varphi}{11} )) \varphi = ? \end{eqnarray*}$

Ist diese Überlegung von mir richtig oder falsch?

$\begin{eqnarray*} \varphi = \frac{360°}{11}=32,72° z_{k}=\sqrt[11]{1,09868} * (cos(\frac{k*360°}{11}+\frac{32,72°}{11} )+i* sin(\frac{k*360°}{11}+\frac{32,72°}{11} )) \end{eqnarray*}$

06.12.2011, 19:39

Heinrich001

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mYthos scheint heute noch nicht online gewesen zu sein......

hat vielleicht jemand anderes ein Idee bzw. kann mir sagen, ob ich richtig liege?

06.12.2011, 20:20

Tremonia

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Es gibt da ein Formel zur Wurzelberechnung bei komplexen zahlen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{z} * e^{i*\frac{phi + 2*k*pi}{n} } \end{eqnarray*}$

das ist glaub einfacher als mit sin und cos
es gilt z = r(cos(phi) + i*sin(phi)) = r*e^(i*phi) (das e^(i*phi) kannst du dir als winkel vorstellen und r als Länge(Betrag) eines Zeigers.Wenn du das zeichnen solltest haben alle Zeiger einen anderen Winkel aber die gleiche länge.

für deinen fall ist n=6 und k somit = 5

phi ist gleich Arctan(Im(z)/Re(z)) Quadranten beachten!

07.12.2011, 12:03

mYthos

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Du hast leider schon r falsch, denn du hast die Quadrate der Summanden unter der Wurzel vergessen.

Es ist klar, dass der Winkel der gegebenen Zahl durch 11 geteilt werden muss und dieser dann jeweils um die Vielfache von 2pi/11 vermehrt werden muss.

Der Real-/Imaginärteil der Lösung ist dann jeweils sin bzw. cos dieses Winkels. Das ist um nichts anderes, als Tremonia vorzuschlagen vermeint. Der Vorschlag geht so übrigens in die Binsen, weil der arctan die Real- bzw. Imaginärteile gar nicht direkt liefert (!).

Zitat:

Original von Tremonia
...
das ist glaub einfacher als mit sin und cos
es gilt z = r(cos(phi) + i*sin(phi)) = r*e^(i*phi) (das e^(i*phi)
...

Und was ist das? Etwa KEINE trigometrische Darstellung?
Mit dem tan kannst du hier übrigens nichts anfangen, auch nicht mit dem arctan, weil daraus Re und Im nicht direkt berechnet werden können.

mY+

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