log (a·b) = log a + log b

10.09.2011, 09:07

Magnus87

log (a·b) = log a + log b

hi

also folgendes

1. Logarithmensatz
log (a·b) = log a + log b

könnt ihr mir vielleicht irgendwie näher bringen warum das beiden das gleiche ist??

mein gedanke das muss ja einfach wie beim distributivgesetz sein? man sieht das log quasi als eine art faktor an?? ist das eine art faktor??

mfg

10.09.2011, 09:38

Christian_P

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hi,

Die Herleitung geht folgendermaßen

$\begin{eqnarray*} x=a^u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=a^v \end{eqnarray*}$

Der Logarithmus ist ein Exponent!

$\begin{eqnarray*} u=\log_a {x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=\log_a {y} \end{eqnarray*}$

weiter ist

$\begin{eqnarray*} x\cdot y = a^u \cdot a^v = a^{u+v} \end{eqnarray*}$

löst man diese Gleichung nach dem Exponenten u+v auf

$\begin{eqnarray*} \log_a {x\cdot y}=u+v \end{eqnarray*}$

dann folgt wegen $\begin{eqnarray*} u=\log_a {x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=\log_a {y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log_a {(x\cdot y)} = \log_a {x}+\log_a {y} \end{eqnarray*}$

11.09.2011, 19:20

Magnus87

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Zitat:

Original von Christian_P
hi,

Die Herleitung geht folgendermaßen

$\begin{eqnarray*} x=a^u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=a^v \end{eqnarray*}$

also weil man es in potenzen zerlegen kann, und diese dann die gleiche basis haben und nach dem 1 potenzgesetz kann man potenzen die multipliziert werden im exponent einfach addieren.
was ich hier gerade nicht so verstehe müsste $\begin{eqnarray*} v = a^v \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} y=a^v \end{eqnarray*}$
sein?
Der Logarithmus ist ein Exponent!

12.09.2011, 08:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von Magnus87
was ich hier gerade nicht so verstehe müsste $\begin{eqnarray*} v = a^v \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} y=a^v \end{eqnarray*}$
sein?

Nein. Beim Beweis von Christian fehlt ein einleitender Satz:

Wähle x > 0 und y > 0 beliebig. Dann gibt es reelle Zahlen u und v, so daß gilt:

$\begin{eqnarray*} x=a^u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=a^v \end{eqnarray*}$

Der Rest sollte dann klar sein.

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