Der lim von xsin(1/x)

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Der lim von xsin(1/x)
Hey Leute ,

Ich hab ne Frage undzwar kann ich nicht ganz nachvollziehen wieso ist .Bin total blockiert ... Kann jmd aushelfen grad ? geschockt
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, du meinst . Kennst du das Sandwhich-Theorem (Einschnürungssatz)? Schätz den Term mal beträgsmäßig ab.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Für kleine x ist ja auch sin(x) ungefähr x.

Könnte das helfen ?

Ja, ich denke schon.

Denn sin(1/x) sind ja kleine Argumente und dann x*1/x=1, oder Big Laugh
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Der Grenzwert ist aber 0, nicht 1. Augenzwinkern
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

@Pasacal95:
Für kleine x stimmt das, aber wenn x gegen Null geht ist ziemlich weit weg von 0 Augenzwinkern

Die Lösung ist hier schon die von Cel angesprochene Abschätzung des Terms über eine simple Eigenschaft der Sinusfunktion.
isbn Auf diesen Beitrag antworten »

Dadurch weiß ich jetzt dass die Funktion oben und unten durch die beiden Diagonalen eingeschränkt ist ...
 
 
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habs mal geplottet verwirrt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Und wo liegt jetzt noch dein Problem?
Du hast doch schon die richtige Einschachtelung gefunden und lässt x gegen Null gehen. Was muss dann gelten?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Das gilt aber nur für . Aber gut, dann lass mal x gegen 0 laufen, wie sieht das dann aus?

Den Fall kannst du danach machen.
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Zitat:
Original von Helferlein
Und wo liegt jetzt noch dein Problem?
Du hast doch schon die richtige Einschachtelung gefunden und lässt x gegen Null gehen. Was muss dann gelten?


wenn x gegen 0 geht ,geht auch y gegen 0 dann hab ich meinen Limes , richtig ? Forum Kloppe
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, Ungleichungen bleiben im Limes erhalten, also ... Falls du mit y den Funktionsterm meinst, dann ja. Aber wie gesagt, den Fall musst du mitabarbeiten. Oder du betrchtest die Funktion betragsämßig, dann ersparst du dir das.
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Zitat:
Original von Cel
Na ja, Ungleichungen bleiben im Limes erhalten, also ... Falls du mit y den Funktionsterm meinst, dann ja. Aber wie gesagt, den Fall musst du mitabarbeiten. Oder du betrchtest die Funktion betragsämßig, dann ersparst du dir das.


Sorry aber ich check nicht was du mir sagen willst unglücklich Der Wert nähert sich doch von beiden Seiten 0 an also für x<= und x>=0 .Ich brauche den Limes auch in der Ableitung aber ich krieg das einfach nicht richtig hin.In der Ableitung beispielsweise hab ich jetzt Ich weiß wie Sinus und Kosinus 1/x jeweils aussehen aber sobald ein Faktor auf einen einwirkt bin ich verloren :Hammer: Sorry wenn ich mich anstelle ...
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Ich hab die Ableitung komplett geplottet und da hat sich ganz minimal was geändert aber ansonsten sieht die Funktion fast genauso aus wie Sinus von 1/x ... Aber Sin(1/x) und Cos(1/x) sind doch fast gleich ... Ich dachte es läge an den 2x aber das hat nichts geändert als ich es aus dem Plot genommen habe verwirrt :
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wobei ... xsin(1/x) geht gegen 0 ... dann 2xsin(1/x) ja auch ... das bedeutet ich bräuchte nur noch den Limes von -cos(1/x) aber der existiert ja nicht oder ? Also ist die Ableitung nicht stetig in f' ? Ich glaube ich sollte warten statt Selbstgespräche zu führen Big Laugh Forum Kloppe
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von isbn
Sorry aber ich check nicht was du mir sagen willst unglücklich Der Wert nähert sich doch von beiden Seiten 0 an also für x<= und x>=0.


Das stimmt, aber die Ungleichung, die du oben angibst, ergibt sich nur für x > 0. Du multiplizierst ja mit x. Und hast du die Ungleichheitszeichen stehen lassen. Das darfst du nur für x > 0. Wenn du mit x < 0 multiplizierst, dann drehen die sich um. Ändert an dem Ergebnis aber nichts. Einfacher:

. Auf beiden Seiten x gegen 0, fertig. smile

Zitat:
Original von isbn
wobei ... xsin(1/x) geht gegen 0 ... dann 2xsin(1/x) ja auch ... das bedeutet ich bräuchte nur noch den Limes von -cos(1/x) aber der existiert ja nicht oder ? Also ist die Ableitung nicht stetig in f' ? Ich glaube ich sollte warten statt Selbstgespräche zu führen Big Laugh Forum Kloppe


Was heißt denn "Die Ableitung ist nicht stetig in f'?". Sie ist nicht stetig in 0, das stimmt. Eben, weil der Cosinus-Term nicht konvergiert.

Edit: Stetigkeit kann man nur untersuchen, wenn die Funktion überhaupt definiert ist. Deswegen stellt sich die Frage nach der Stetigkeit von f' in der 0 nicht. Die ableitung wurde dort ja gar nicht definiert. Sagen wir lieber, dass der Grenzwert in für x gegen 0 nicht existiert.
isbn Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine ausführliche Antwort smile Was ich wissen wollte ist unabhängig von dem davor , das hätte ich vielleicht klarer machen sollen , ob die Ableitung von f stetig ist in x=0 , weil das unter anderem auch gefragt gewesen ist . Mein Ansatz war dieser :



Also:



Aber ich kann f'(0) doch garnicht berechnen weil ich sonst durch 0 teilen würde , schon da scheitert es doch und ich kann sagen dass die Ableitung nicht stetig ist oder ? Ich hoffe ich konnte erklären was ich meine Wink
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir Stetigkeit überprüfen wollen, brauchen wir dort einen Funktionswert. Üblicherweise definiert man sich bei dieser Funktion , denn wie du ja zeigst, existiert dort kein Grenzwert. Erst dann kann man sagen, dass f' dort nicht stetig ist. Ist f'(0) nicht definiert, fragen wir uns gar nicht erst, ob f' dort stetig ist.

Aber überhaupt: Warum jetzt auf einmal x^2 vorne davor? Das war doch vorher nicht.
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