Euler DGL?

10.09.2011, 13:45

mathefisch

Euler DGL?

Hallo, handelt es sich hier um eine Euler DGL ? Nach auflösen der Klammer habe ich nämlich ein störendes y'' Glied. Habe die Datei angehängt! Wäre sehr dankbar über eine Antwort, da ich in einer Klausurvorbereitung bin !

10.09.2011, 14:20

Leopold

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Du sollst ja gar nicht alle Lösungen bestimmen, sondern nur diejenigen, die Polynome vom Grad 3 sind. Warum setzt du nicht einfach den vorgegebenen Ansatz ein und führst einen Koeffizientenvergleich für $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ durch?

10.09.2011, 14:25

mathefisch

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also einfach die DGL mit dem Ansatz gleichsetzen?

10.09.2011, 14:31

Leopold

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Zitat:

Original von mathefisch
also einfach die DGL mit dem Ansatz gleichsetzen?

Das Wort gefällt mir gar nicht. Aber vielleicht meinst du ja das Richtige ...

10.09.2011, 14:34

mathefisch

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ich meinte die 0 durch ax³+bx²+cx+d "ersetzen" und dann den koeffizientenvergleich machen?

10.09.2011, 14:39

Leopold

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Nein, sondern

$\begin{eqnarray*} y = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 3ax^2 + \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = 6ax + \ldots \end{eqnarray*}$

in die Differentialgleichung einsetzen, ausmultiplizieren, zusammenfassen. Dann den Koeffizientenvergleich durchführen.

10.09.2011, 14:48

mathefisch

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dann bekomme ich raus

$\begin{eqnarray*} 5bx² + 6ax + 9cx + 2b + 10c = 0 \end{eqnarray*}$

Die Polynome vom Grad 3 fallen weg, was muss ich denn jetzt machen ?

10.09.2011, 14:54

Leopold

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$\begin{eqnarray*} 5bx^2 + 6ax + 9cx + 2b + 10c = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0 \end{eqnarray*}$

Zwei Polynomfunktionen stimmen genau dann überein, wenn sie in den Koeffizienten übereinstimmen.

11.09.2011, 13:03

mathefisch

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ich verstehe einfach nicht wie ich jetzt weiter vorgehen muss!!! unglücklich

also ist $\begin{eqnarray*} b = -5c \end{eqnarray*}$ , aber wie komme ich weiter? bitte gib mir doch die antwort, stehe aufm schlauch

11.09.2011, 13:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathefisch
$\begin{eqnarray*} 5bx² + 6ax + 9cx + 2b + 10c = 0 \end{eqnarray*}$

Ohne alles nachzurechnen ist sofort klar, dass das nicht stimmen kann: Das Absolutglied $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ des Ansatzes kommt hier überhaupt nicht mehr vor, was es bei dieser Struktur der DGL aber muss!

11.09.2011, 13:38

mathefisch

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habe da jetzt raus : $\begin{eqnarray*} -5bx² - 6ax - 8cx - 2b - 9d = 0 \end{eqnarray*}$ was zum teufel muss ich denn jetzt machen ? danke

11.09.2011, 13:48

HAL 9000

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Das scheint jetzt zu stimmen. Diese Gleichung muss jetzt für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ stimmen, was nur der Fall ist, wenn links ein Nullpolynom steht. D.h., jeder einzelne der drei Koeffizienten vor $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ muss gleich Null sein - nennt sich üblicherweise Koeffizientenvergleich. Also erstmal nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Potenzen bündeln:

$\begin{eqnarray*} (-5b)\cdot x^2 + (-6a-8c)\cdot x^1 + (-2b-9d)\cdot x^0 = 0 \end{eqnarray*}$

(Hab's mal etwas in der Darstellung übertrieben, damit es unmissverständlich klar ist, was gemeint ist.)

11.09.2011, 13:54

mathefisch

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daraus folg ja dann : $\begin{eqnarray*} a = -\frac {4} {3} c , c = -\frac {3} {4}a, b = 0 , d = 0 \end{eqnarray*}$
ist das korrekt ? das mit dem koeffizientenvergleich ist mir klar, jedoch weiss ich nicht wie ich damit die frage beantworten soll !

11.09.2011, 14:06

HAL 9000

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Ja, das ist es. Nun, es ist wie bei jedem linearen Gleichungssystemen mit mehreren Lösungen: Du führst einen freien Parameter ein, kann auch einer der Werte sein (hier $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ) und stellst das Lösungspolynom damit dar.

11.09.2011, 14:14

mathefisch

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also ist die Lösung : $\begin{eqnarray*} y(x) = -\frac {4} {3} cx³ -\frac {3} {4}ax \end{eqnarray*}$ ?

11.09.2011, 14:30

HAL 9000

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Nein, so gerade nicht: Jetzt hast du ja wieder zwei Parameter drin, die nicht frei voneinander wählbar sind. Entscheide dich für einen (a oder c), und stelle den anderen damit dar.

11.09.2011, 14:32

Tim452

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RE: Euler DGL?
wieso willst du dass wir deine ha machen ?

11.09.2011, 14:34

mathefisch

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RE: Euler DGL?

Zitat:

Original von Tim452
wieso willst du dass wir deine ha machen ?

wenn ich nicht völlig falsch liege sind foren dazu da, um hilfe zu bekommen bzw. hilfe zu leisten ! es geht nicht um ha, sondern um eine klausuraufgabe der höheren mathematik welche ich gerne verstehen würde

11.09.2011, 14:38

mathefisch

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ist das denn jetzt hier die Lösung ? $\begin{eqnarray*} y(x) = -ax³ -\frac {3} {4}ax \end{eqnarray*}$

11.09.2011, 14:42

HAL 9000

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Ja, wobei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ (als reelle Zahl) ein frei wählbarer Parameter ist.

EDIT: Halt, da ist noch ein Vorzeichenfehler drin!!! Also bitte nur

$\begin{eqnarray*} y(x) = ax^3 -\frac {3} {4}ax \end{eqnarray*}$

11.09.2011, 14:46

mathefisch

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danke für deine hilfe !

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