Beweis zum Thema Beträge

23.12.2006, 16:42	n3cRo	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zum Thema Beträge Zeigen Sie: Für alle x, y Element R gilt \|x + y\| <= \|x\| + \|y\| und \|x · y\| = \|x\| · \|y\| Hinweis: Für den Betrag \|x\| einer reellen Zahl x gilt \|x\| = max{x,-x}, wobei max{x1, . . . , xn} das Maximum der reellen Zahlen x1, . . . , xn bezeichnet. ==================== Hallo, ich finde es absolut logisch, da bei der Summe ein Summand negativ sein kann und somit der Betrag der Summe immer kleiner gleich der Beträge der Summanden sind. Zum 2ten würd ich einfach sagen, dass sich der der Multiplikation falls x oder y negativ sind höchstens das Vorzeichen verändert jedoch nicht der Betrag als solcher. Aber das muss man doch irgendwie auch mathematisch Beweisen können?! Beispiele o.ä. reichen da ja leider nicht?! Könnte höchstens noch sagen: x <= \|x\| und -x <= \|x\| b zw. analaog für y Danke für eure Hilfe!
23.12.2006, 17:35	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zum Thema Beträge Du kannst die Ungleichungen mit den Beträgen als Maxima ja erstmal hinschreiben. Dann kannst du über alle möglichen Fälle eine Fallunterscheidung machen (zB x>0, x<0 usw.). Grüße Abakus
23.12.2006, 17:40	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das erste sieht nach der oberen Dreiecksungleichung aus. Der Beweis dazu : $\begin{eqnarray} \mid a + b \mid \leq \mid a \mid + \mid b \mid \end{eqnarray}$ Beweis : Fall 1 : $\begin{eqnarray} a + b > 0 \end{eqnarray}$ Dann gilt : $\begin{eqnarray} \mid a + b\mid = a + b \leq \mid a\mid + \mid b \mid \end{eqnarray}$ Fall 2: a+b < 0. Dann gilt : $\begin{eqnarray} \mid a+b\mid= -(a+b) = (-a) + (-b) \leq \mid -a\mid + \mid - b\mid = \mid a\mid + \mid b\mid \end{eqnarray}$ Bei dem anderen würde ich es auch so probieren. mfg Silver

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