Markovsche und die Chebychevsche Ungleichung

10.09.2011, 16:44	xvzwx	Auf diesen Beitrag antworten »
Markovsche und die Chebychevsche Ungleichung Hey, ich habe folgende Aufgabe: Es werde 3x gewürfelt. Der Wert der Zufallsgröße X sei die Summe der gewürfelten Augen. Nun soll P(X=4), E(X) "Erwartungswert" und V(X) "Varianz" berechnet werden, das habe ich schon. $\begin{eqnarray} P(X=4) = \frac{3}{216} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} E(X) = \frac{21}{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} V(X) = \frac{35}{4} \end{eqnarray}$ Jetzt zu meinem Problem: Zeigen Sie $\begin{eqnarray} P(7\leq X \leq16) > 0,5 \end{eqnarray}$ und gegeben sind: Markovsche und die Chebychevsche Ungleichung: $\begin{eqnarray} P(X \geq t) \leq \frac{E(X)}{t} , P(\|X-E(X)\| \geq t) \leq \frac{V(X)}{t²} \end{eqnarray}$ nun weiß ich nicht weiter. Was wird hier berechnet, welchen Wert bekommt X und wofür wird welche Ungleichung benutzt.
11.09.2011, 10:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hier die Verteilung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ direkt bestimmbar ist, könntest du $\begin{eqnarray} P(7\leq X \leq16) > 0{,}5 \end{eqnarray}$ auch zeigen, indem du den Wahrscheinlichkeitswert links direkt berechnest, statt durch eine der von dir genannten Ungleichungen nur abschätzt. Da diese Ungleichungen i.a. sehr grob sind, ist es nämlich keineswegs klar, dass sie zum Erfolg führen. Im vorliegenden Fall klappt es aber doch noch, wohl weil es die Aufgabenersteller eben so konstruiert haben: Bezogen auf den Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(X)=10{,}5 \end{eqnarray}$ kannst du $\begin{eqnarray} P(7\leq X\leq 16) \end{eqnarray}$ umschreiben zu $\begin{eqnarray} P(7\leq X\leq 16) = P(6 < X < 17) = P(-4{,}5 < X-10{,}5 < 6{,}5) \end{eqnarray}$ Das ist leider auf die beiden Enden bezogen asymmetrisch, wenn wir auf Tschebyscheff hinauswollen. Bleibt das Prinzip Hoffnung, dass sich für ein etwas kleineres, dann "symmetrisches" Ereignis immer noch die gewünschte Wkt >0,5 nachweisen lässt. Also probieren wir das mal und verkleinern das Intervall und setzen die letzte Ungleichungskette fort: $\begin{eqnarray} \ldots \geq P(-4{,}5 < X-10{,}5 < 4.5) = P(\|X-10{,}5\| < 4{,}5) \end{eqnarray}$ Und nun Tschebyscheff...

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