MO 1998 A1 [polynom]

10.09.2011, 18:05

Elli-maus

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MO 1998 A1 [polynom]

Meine Frage:
Gegeben ist ein Polynom mit den beiden eigenschaften
-alle koeffizienten a,a1,a2 sind ganze zahlen
-p(x) nimmt den funktionswert 1991 fuer vier verschiedene ganzzahlige x werte an.
zeigen sie :es gibt kein x element von Z mit P(x)=1998.

Meine Ideen:
also ich hab wirklich sehr viel ausprobiert ..bin aber leider nicht weiter gekommen ..also dieser fall ist mir sehr selten weil hier die exponeneten der funktion und auch die koeffizienten fehlen.

ich bitte um hilfe

tigerbine:
Ist eine Aufgabe aus
http://www.fuemo.de/wiki/images/06fuemo_9798_r2_k11.pdf

10.09.2011, 18:11

Elvis

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Welchen Grad soll das Polynom haben ? Ist das ein quadratisches Polynom der Form p(x)=ax²+a1x+a2 ? Das schließe ich jedenfalls aus der Vorgabe "alle koeffizienten a,a1,a2 sind ganze zahlen" . Wenn es so sein soll, ist die Aufgabe ein Scherz.

P.S.: Habe die korrekte Aufgabe zur Kenntnis genommen. Ist doch kein Scherz.

10.09.2011, 18:14

tigerbine

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Hi Elvis,

siehe PDF. Mit dem Hinweis 4x gleicher Funktionswert kann man Grad 2 ja ausschließen.

10.09.2011, 18:19

Elvis

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Hätte als quadratisches Polynom konstant = 1991 sein müssen, also p(x)=1998 nicht möglich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.09.2011, 18:23

tigerbine

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Big Laugh

Also mit Namen meine ich schon entsprechender Leitkoeffizient ungleich 0.

Gedanklich bin ich nun bei einem Polynom q gleichen Grades, allerdings kenne ich von dem schon 4 Nullstellen. Ob das was hilft, weiß ich nun aber noch nicht. Aber zumindest ist der nun zu widerlegende Wert prim.

10.09.2011, 21:06

René Gruber

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Vielleicht mal ein Gegenbeispiel für die abgewandelte Aufgabe mit

Zitat:

-p(x) nimmt den funktionswert 1991 fuer drei verschiedene ganzzahlige x werte an.

$\begin{eqnarray*} p(x) = (x-1)(x+1)(x-7)+1991 \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} p(1)=p(-1)=p(7)=1991,\quad p(0)=1998 \end{eqnarray*}$ .

Das hilft vielleicht auch beim Finden eines Lösungsgedanken für die Originalaufgabe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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11.09.2011, 16:58

gonca-baby

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das hilft mir wirklich nicht weiter .. unglücklich

unglücklich

((

11.09.2011, 17:26

René Gruber

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Zitat:

Original von gonca-baby
ich brauche es fuer den montag ..hab wirklich den ganzen samstag dran gerarbeitet

Dann fass doch mal die Ergebnisse dessen zusammen, damit zu sehen ist, dass du es wirklich ernst meinst.

EDIT: Mich würde mal interessieren, warum plötzlich mehrere Leute (hoffentlich sind es wirklich mehrere) diese 13 Jahre alte Olympiadeaufgabe ausgraben. verwirrt

verwirrt

11.09.2011, 19:38

gonca-baby

Auf diesen Beitrag antworten »

ok also ich hab einmal
p(x) = 1991
p(x2)= 1991
p(x3)= 1991
p(x4)= 1991
x1,x2,x3,x4 element von Z: ganze zahlen

(x-n) (x-n2) (x-n3) (x-n4) .....und dann ?????????????????????

11.09.2011, 19:48

gonca-baby

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danke leute ..sehr hilfreich hier ..

11.09.2011, 19:50

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

EDIT: Mich würde mal interessieren, warum plötzlich mehrere Leute (hoffentlich sind es wirklich mehrere) diese 13 Jahre alte Olympiadeaufgabe ausgraben.

Eine Hausaufgabe?

@gonca: Ja, drängeln so vor dem zu Bett gehen kommt super bei den Helfern an. Freude

Freude

11.09.2011, 19:57

gonca-baby

Auf diesen Beitrag antworten »

okyyyy ja !! also ich habs mehrmals versucht ..und das schon die ganze zeit ..und keiner von euch will mir irgendwie weiter helfen ..ich meine wozu seid ihr in diesem forum ??????????????????????????????

11.09.2011, 20:01

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gonca-baby
(x-n) (x-n2) (x-n3) (x-n4) .....und dann ?????????????????????

Bitte etwas weniger Fragezeichen...

Selbst wenn ich annehme, dass du mit n,n2,n3,n4 dieselben Werte meinst wie weiter oben x,x2,x3,x4:

In welcher Beziehung steht dieser Term (x-n) (x-n2) (x-n3) (x-n4) zu dem Polynom p(x) ?

11.09.2011, 20:07

gonca-baby

Auf diesen Beitrag antworten »

also ..x soll kein element von Z sein ..mit p (x)=1998
und es gibt vier verschiedene ganzzahlige x werte , und diie koeffizienten sind ganze zahlen ..mehr steht in der aufgabe nichts
!!!!!

11.09.2011, 20:28

René Gruber

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Wir reden aneinander vorbei. Ich wollte dich eigentlich dazu bewegen, dass du nicht nur mit irgendwelchen losen Termen um dich wirfst, sondern sie geeignet in Beziehung setzt. Nämlich etwa so:

Sind $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3,x_4 \end{eqnarray*}$ die vier ganzzahligen Argumente mit $\begin{eqnarray*} p(x_1) = p(x_2) = p(x_3) = p(x_4) = 1991 \end{eqnarray*}$ , dann bedeutet das, dass $\begin{eqnarray*} p(x)-1991 \end{eqnarray*}$ diese vier Werte als Nullstellen hat. Was weiterhin bedeutet, dass es ein Polynom $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligen Koeffizienten geben muss, für welches

$\begin{eqnarray*} p(x) - 1991 = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\cdot q(x) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt. So, das war ein Start - jetzt meckere mal nicht weiter, sondern mach selbst was draus.

11.09.2011, 20:38

gonca-baby

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danke sehr smile

smile

..echt nett , dass sich mind. eine/einer mit der aufgabe befassen hat
vielen dank smile

smile

12.09.2011, 11:12

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Statt derart überschwänglichen (und übertriebenen) Dankeskundgebungen hatte ich mir eher erhofft, dass du daraus Schlüsse für den weiteren Fortgang der Aufgabenlösung ziehst, und diese hier auch präsentierst. Aber nichts, nicht das kleinste Schrittchen - war wohl eine vergebliche Hoffnung, so dass meine obigen Bedenken

Zitat:

Original von René Gruber
Dann fass doch mal die Ergebnisse dessen zusammen, damit zu sehen ist, dass du es wirklich ernst meinst.

bisher leider in keinster Weise ausgeräumt sind. unglücklich

unglücklich

12.09.2011, 15:28

gonca-baby

Auf diesen Beitrag antworten »

okk soryy..ich habs in meinem heft stehen ..und wollte mich nur bedanken .. smile

smile

also fast keiner im unterricht hatte es gehabt XD ..aber was mich jetzt wirlich intressiert ..warum hat p(x)-1991 diese vier verschiedene x -werte als nullstelle ,und warum MUSS es ein polynom mit ganzzahligen K. geben ???

und was bedeutet p(x)-1991=.....mal q(x)
weil so hat es auch der lehrer gemacht ..aber leider hab ichs trotzdem nicht so sehr verstanden ..

12.09.2011, 15:37

gonca-baby

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habs mir gerade noch ueberlegt ..und moechte nur wissen ob ich auf den richtigen weg bin ..!!

p(x)-1991= muss gleich (x-x1)...usw. mal q(x)

d.h q(x)= ganzzahlige koeffizienten

daraus folgt
1998-1991=7

7=(x-x1)(x-x2) usw.. mal q(x)
dabei stellen wir fest dass x ungleich .. oh mann ..leider komme ich nicht mehr weiter unglücklich

unglücklich

12.09.2011, 16:04

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gonca-baby
dabei stellen wir fest dass x ungleich .. oh mann ..leider komme ich nicht mehr weiter unglücklich

unglücklich

Geht das auch in verständlichen Worten? Das ist hier kein Chatroom.

Zitat:

Original von gonca-baby
also fast keiner im unterricht hatte es gehabt

Ich finde dieses "fast" schon ganz hoffnungsvoll: Es ist ja eine ganz anspruchsvolle Aufgabe, und wenn die wenigstens einer geschafft hat, dann ist das doch gut.

Zitat:

Original von gonca-baby
warum hat p(x)-1991 diese vier verschiedene x -werte als nullstelle

Lies dir mal die Voraussetzungen zu p(x) durch.

Zitat:

Original von gonca-baby
und warum MUSS es ein polynom mit ganzzahligen K. geben ???

Hat ein Polynom $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ ohne Rest durch den Linearfaktor $\begin{eqnarray*} (x-x_1) \end{eqnarray*}$ teilbar. Soweit sollte das auch in der Schule behandelt worden sein.

Ist überdies $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, und auch $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ganzzahlig, dann erhält man durch detaillierte Betrachtung dieser Division $\begin{eqnarray*} \frac{p(x)}{x-x_1}=q(x) \end{eqnarray*}$ die Erkenntnis, dass auch $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ nur ganzzahlige Koeffizienten enthalten kann. Das Argument zieht dann sukzessive auch für $\begin{eqnarray*} (x-x_2), (x-x_3), (x-x_4) \end{eqnarray*}$ .

12.09.2011, 18:47

gonca-baby

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ahaaaaaaaaa jetzt verstehe ichs!!
1998-1991 ist ungleich q(x) mal (x-x1) (x-x2)..usw
also d.h dass x kein element von Z ist weil in p(x)=1998 die x werte nicht ganzzahlig ist ..oder ??

12.09.2011, 19:26

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss das so hart sagen: Du bist irgendwie Lichtjahre von irgendeiner vernünftigen Argumentation entfernt. unglücklich

unglücklich

12.09.2011, 19:37

gonca-baby

Auf diesen Beitrag antworten »

HALLO ??
dann kannst du ja mir zumindest weiterhelfen ..als die ganze zeit solche sprueche zu schreiben !!!!

12.09.2011, 19:44

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gonca-baby
dann kannst du ja mir zumindest weiterhelfen ..

Hab ich bereits getan - schon vergessen???

Du kriegst nichts, gar nichts bei dieser Aufgabe auf die Reihe. Mein Tipp: Lass es sein, und widme dich der normalen Schulmathematik. Es ist keine Schande, eine solche Aufgabe nicht rauszukriegen, ich kenne selbst Mathematikstudenten, die sowas nicht rauskriegen würden.

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