Funktion konvergiert, Ableitung gegen Null

11.09.2011, 00:04	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion konvergiert, Ableitung gegen Null Hallo, mich beschätigt die Frage, ob eine Funktion konvergiert, wenn ihre Ableitung gegen Null konvergiert, also: $\begin{eqnarray} \begin{array}{l}<br /> f\ \text{eine Funktion} \\ \lim_{x_0\to\infty}f(x_0)=r\in\mathbb R\ \Leftrightarrow\ \lim_{x_0\to\infty}f'(x_0)=0 \end{array} \end{eqnarray}$ Anschaulich würde ich es mir erklären, da wegen der Konvergenz von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auch die Differenz der Funktionswerte von $\begin{eqnarray} f(x_0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x_0+k) \end{eqnarray}$ (mit einem beliebigen k) gegen Null geht, also konstant aussieht. Dadurch geht die Steigung auch gegen Null. Ich gehe bei der Definitions- und Zielmenge der Funktion von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ aus. Die Frage ist jetzt natürlich (1) ob das überhaupt stimmt, und (2) wie man es beweisen kann....
11.09.2011, 00:06	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das stimmt nicht. Gegenbeispiel ist $\begin{eqnarray} f(x)=\ln{x} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$
11.09.2011, 00:06	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\to\infty} \ln(x)=\dots \end{eqnarray}$ Edit: Zur gleichen Zeit die gleiche Idee.
11.09.2011, 00:17	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, stimmt. Der natürliche Logarithmus wächst über alle Grenzen. Das kann man ja zeigen: $\begin{eqnarray} y \in \mathbb R_+ \end{eqnarray}$ beliebig. $\begin{eqnarray} \ln(\operatorname e^y)=y \end{eqnarray}$ , also wird y angenommen. Geht aber die andere Richtung ? Also, dass die Ableitung gegen Null geht, wenn die Funktion konvergiert ? $\begin{eqnarray} \begin{array}{l}<br /> f\ \text{eine Funktion} \\ \lim_{x_0\to\infty}f(x_0)=r\in\mathbb R\ \Rightarrow\ \lim_{x_0\to\infty}f'(x_0)=0 \end{array} \end{eqnarray}$
11.09.2011, 11:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt auch nicht, Gegenbeispiel $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{\sin(x^2)}{x} \end{eqnarray}$ .
11.09.2011, 16:43	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke sehr
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