Permutation

11.09.2011, 18:20

xvzwx

Permutation

Hey

ich habe folgende Aufgabe:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine Permutation der Menge {1,2,3,4} genau einen Fixpunkt?

In der Lösung steht nun das: Durch systematisches Abzählen findet man, dass es 8 Permutationen mit genau einem Fixpunkt gibt. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also $\begin{eqnarray*} \frac{8}{24} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

ich habe mir 4 als Fixpunkt genommen und 1,2,3 als disjunkte Zyklen aufgeschrieben, hier komme ich aber nur auf 6 und durch Nachrechnen mit 3! kommt auch 6 raus.
Liegt der Fehler in der Lösung oder steh ich grad aufm Schlauch?

11.09.2011, 18:45

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Permutation

Zitat:

Original von xvzwx

ich habe mir 4 als Fixpunkt genommen und 1,2,3 als disjunkte Zyklen aufgeschrieben, hier komme ich aber nur auf 6 und durch Nachrechnen mit 3! kommt auch 6 raus.
Liegt der Fehler in der Lösung oder steh ich grad aufm Schlauch?

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Permutation der Menge {1,2,3,4} genau einen Fixpunkt hat!
Angenommen, 1 sei der Fixpunkt. Dann musst du {2,3,4} so permutieren, dass diese eben keinen Fixpunkt haben. Wie viele Möglichkeiten gibt es hierfür?
Selbes für 2,3 und 4 als Fixpunkt. (offenbar sind die gefundene Permutationen auch jeweils paarweise verschieden)

PS: Die Lösung hat Recht Big Laugh

11.09.2011, 21:37

xvzwx

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Math1986

Angenommen, 1 sei der Fixpunkt. Dann musst du {2,3,4} so permutieren, dass diese eben keinen Fixpunkt haben. Wie viele Möglichkeiten gibt es hierfür?

Das wären doch dann folgende Permutationen:
{2, 3, 4} {2, 4, 3} {3, 2, 4} {3, 4, 2} {4, 2, 3} {4, 3, 2} = 6

und somit $\begin{eqnarray*} \frac{6}{24} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{8}{24} \end{eqnarray*}$ oder? verwirrt

11.09.2011, 21:45

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn Math1986 überhaupt nicht zugehört?

Zitat:

Original von xvzwx
Das wären doch dann folgende Permutationen:
{2, 3, 4} {2, 4, 3} {3, 2, 4} {3, 4, 2} {4, 2, 3} {4, 3, 2} = 6

Ich hab mal die Fixpunkte fett markiert, d.h. von deinen 6 genannten (Teil-)Permutationen sind nur die beiden {3, 4, 2} {4, 2, 3} fixpunktfrei. Das macht also (unter Einbeziehung der 1) die beiden Permutationen

{1, 3, 4, 2} {1, 4, 2, 3}

die den Fixpunkt 1 haben, und NUR DEN.

Dasselbe kann man dann auch für "NUR Fixpunkt 2", "NUR Fixpunkt 3" und "NUR Fixpunkt 4" machen, was insgesamt $\begin{eqnarray*} 4\cdot 2 = 8 \end{eqnarray*}$ solche Permutationen ergibt.

11.09.2011, 21:53

xvzwx

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, die Erklärung war perfekt smile

Zitat:

Original von René Gruber
Hast du denn Math1986 überhaupt nicht zugehört?

doch, aber ich hatte es leider falsch verstanden und die Erklärung war zwar korrekt und jetzt im nachhinein auch verständlich, aber ich war halt auf dem falschen Weg.

Neue Frage »

Antworten »

Permutation

Verwandte Themen