Homographische Funktionen

11.09.2011, 20:29

kampfanzug

Homographische Funktionen

Meine Frage:
Finde alle Funktionen:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \end{eqnarray*}$ , dass:
$\begin{eqnarray*} f(x)-2f(-x) = \frac{x-1}{x+1} \end{eqnarray*}$
(x != -1)

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} f(0) = 1 \end{eqnarray*}$ (b = d)
Ich versuche, einmal x, und einmal -x verwenden:
$\begin{eqnarray*} f(x) - 2f(-x) = ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-x) - 2f(x) = ... \end{eqnarray*}$

Aber es gibt keine Ergebnisse ;<

11.09.2011, 21:10

René Gruber

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Ähnlich wie du $\begin{eqnarray*} f(0)=\frac{b}{d}=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} b=d \end{eqnarray*}$ genutzt hast, könntest du

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\pm \infty} = \frac{a}{c} \end{eqnarray*}$

(zumindest für $\begin{eqnarray*} c\neq 0 \end{eqnarray*}$ ) mal in die Funktionalgleichung einsetzen...

Es wird aber im weiteren Verlauf schnell klar, dass es eine solche Funktion nicht geben kann - zumindest nicht in der geforderten Struktur.

P.S.: Ich will ja nicht drängeln, aber besteht hier eigentlich auch noch Interesse? Oder ist (wie letztens) auch da "alles klar"? Augenzwinkern