Zeige Folge konvergiert und Grenzwert

24.12.2006, 13:08

SilverBullet

Zeige Folge konvergiert und Grenzwert

Hallo hab hier nen Problem mit einer älteren Übungsaufgabe.

Aufgabe :

Zeige die Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert.

$\begin{eqnarray*} x_n = \sqrt {n+1} - \sqrt n \end{eqnarray*}$

Hab leider die Lösung nicht mehr und bekomm das irgendwie nicht gebacken.

Hab so angefangen :

Damit eine Folge konvergiert (so ein Satz) muss die Folge mon. wachsend oder fallend sein und nach oben oder unten beschränkt sein.

Schritt 1 :

Die Folge ist mon. wachsend :
$\begin{eqnarray*} \sqrt {n+1} - \sqrt n \leq \sqrt {n+2} - \sqrt{n+1} \Leftrightarrow n+1+n \leq n+2+n+2 \Leftrightarrow 1 \leq 3 \end{eqnarray*}$

Somit habe ich doch gezeigt das die Folge schon einmal monoton wächst.

Wie zeige ich das sie beschränkt ist ?
Ich mein es ist ja die Wurzel und die darf nicht negativ sein.
Ist die Folge dann durch 0 beschränkt ?
Wie zeige ich das?

Und wenn ich das alles habe wie sieht es mit dem Grenzwert aus? Kann ich den einfach so aufschreiben oder muss ich da auch was beweisen ?

24.12.2006, 13:24

therisen

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RE: Zeige Folge konvergiert und Grenzwert

Zitat:

Original von SilverBullet
Damit eine Folge konvergiert (so ein Satz) muss die Folge mon. wachsend oder fallend sein und nach oben oder unten beschränkt sein.

Das ist quatsch.

Es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}- \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}(\sqrt{1+1/n}+1)} \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

24.12.2006, 14:11

SilverBullet

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Sorry aber was hast du da gemacht ?

Zu dem Zeitpunkt hatten wir nur den Satz den ich oben erwähnt habe und das eine Folge Konvergiert wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

Bei der Folge kann ich mir doch ein N wählen,sodass $\begin{eqnarray*} \mid a_n - a_m \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n,m größer als N.
Also konvergiert die Folge.
Nur wie zeigen ? So wie du ?

24.12.2006, 14:16

therisen

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Hallo,

ich habe mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ erweitert (dritte binomische Formel!).

Der Satz lautet richtig: Eine Folge konvergiert, wenn sie monoton fallend/wachsend ist und nach unten/oben beschränkt ist. Du hast aber eine "genau dann, wenn" Aussage gemacht und das ist Quatsch.

Schaut nicht sehr monoton wachsend aus Augenzwinkern

Gruß, therisen

24.12.2006, 14:33

SilverBullet

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LOL und ich wunder mich grad warum dein Graph anders aussieht als meiner Big Laugh

Hab einfach nur + anstatt - geschrieben beim plotten *doh*

Naja ok das wäre dann geklärt.

Aber mit dem erweitern versteh ich immer noch nicht zwar ist (a-b)*(a+b) = a² - b² aber bekomme das mit den Wurzeln so nicht hin.

Geht es nicht auch ohne ?
Wie gesagt über CauchyFolge ?

24.12.2006, 14:37

therisen

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Zeige doch einfach, dass die Folge monoton fallend ist und das Infimum gleich Null ist.

Über das Cauchy-Kriterium bekommst du nämlich nicht den Grenzwert raus Augenzwinkern

Das mit dem Erweitern schau dir nochmal an, das ist Stoff der 9. Klasse Augenzwinkern

Gruß, therisen

24.12.2006, 15:35

SilverBullet

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Ahhh endlich hab ich es ....

Das es mon. fallend ist hab ich auch über 3.Binomi gemacht.

$\begin{eqnarray*} \sqrt {n+1} - \sqrt n \geq \sqrt {n+2} - \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (\sqrt {n+1} - \sqrt n) (\sqrt {n+1} + \sqrt n) \geq (\sqrt {n+2} - \sqrt{n+1})(\sqrt {n+1} + \sqrt n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (n+1)^2 - n^2 \geq \text { ausmultipliziert usw...} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 4n^2 + 4 \geq 4n+2 \end{eqnarray*}$

Ok das wäre damit erledigt.

Um nun zu zeigen, dass das Infimum 0 ist kann ich es doch mit deiner Umformug machen oder ?

Also 0 .

Richtig ?
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {\sqrt{n+1}- \sqrt{n}}= \frac{1}{\lim_{n \to \infty} {\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{2\lim_{n \to \infty} {\sqrt{n}} } \end{eqnarray*}$

24.12.2006, 22:45

therisen

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Zitat:

Original von SilverBullet
Ahhh endlich hab ich es ....

Das es mon. fallend ist hab ich auch über 3.Binomi gemacht.

$\begin{eqnarray*} \sqrt {n+1} - \sqrt n \geq \sqrt {n+2} - \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (\sqrt {n+1} - \sqrt n) (\sqrt {n+1} + \sqrt n) \geq (\sqrt {n+2} - \sqrt{n+1})(\sqrt {n+1} + \sqrt n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (n+1)^2 - n^2 \geq \text { ausmultipliziert usw...} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 4n^2 + 4 \geq 4n+2 \end{eqnarray*}$

Ok das wäre damit erledigt.

Deine Rechnung ist unnötig, wenn man weiß, dass die Quadratwurzelfunktion streng monoton wachsend ist (vgl. meine Darstellung).

Zitat:

Original von SilverBullet
Um nun zu zeigen, dass das Infimum 0 ist kann ich es doch mit deiner Umformug machen oder ?

Natürlich, ich habe ja nur eine Äquivalenzumformung vorgenommen - ob das praktisch war oder nicht, wird sich zeigen Augenzwinkern

Zitat:

Original von SilverBullet
Also 0 .

Richtig ?
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {\sqrt{n+1}- \sqrt{n}}= \frac{1}{\lim_{n \to \infty} {\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{2\lim_{n \to \infty} {\sqrt{n}} } \end{eqnarray*}$

Warum argumentierst du jetzt auf einmal mit Limiten? Ich dachte, du darfst das alles nicht verwenden? Falls doch, dann kannst du dir alles, was du aufgeschrieben hast, sparen, denn der Grenzwert Null folgt unmittelbar aus meiner Darstellung. Wenn du aber elementar zeigen willst, dass Null das Infimum ist, musst du das noch formal exakt beweisen.

Gruß, therisen

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